Обобщенные автоматы без потери информации

Нетрудно убедиться, что упомянутое в пункте 2 алгоритма множество есть . Установочной последовательностью для рассматриваемого автомата с множеством допустимых начальных состояний является, например, слово длиной два . Пользуясь таблицей 3.1, по действительной реакции автомата на слово находим состояния , упомянутые в пункте 3 алгоритма.

Если , то ему соответствуют пары (1;10,00,00), (1;10,00,01), (1;10,01,00), (1;10,01,01), …, (1;11,01,00) и проекцией по 1-му входному каналу неизвестного входного слова является 1,0,0. При искомая проекция есть 1,0,1 и, например, при проекция равна 1,1,1.

Хотя теорема 3.1 позволила обосновать метод восстановления искомой проекции неизвестного входного слова, однако ответить с ее помощью на вопрос, является ли конкретный автомат ОБПИ-автоматом, сложно из-за отсутствия эффективного способа проверки условий теоремы. Ввиду этого ниже сформулируем еще одно необходимое и достаточное условие принадлежности автомата классу ОБПИ, но в других по сравнению с теоремой 3.1 терминах, допускающее простую проверку.

С этой целью по аналогии с [74] введем понятие проверочного графа автомата. Условимся считать, что автомат задан с помощью конечного ориентированного графа. Будем говорить, что дуга графа автомата , где , имеет пометку , если .

Аналогичное определение сформулируем и для случая, когда выходной символ наблюдается не по всем, а только по выделенным каналам с номерами : дуга имеет пометку , если

Понятно, что две вершины графа могут связываться несколькими дугами с разными пометками.

Пусть - множество всех состояний автомата , достижимых из множества допустимых начальных состояний путями любой длины.

По графу автомата построим другой ориентированный конечный граф следующим образом.

1. Вершинами являются все возможные неупорядоченные пары , где .
2. Из вершины в вершину проводится дуга с пометкой , если

В графе две вершины могут быть связаны несколькими дугами с разными пометками.

Пусть неизвестное входное слово необходимо восстановить по каналам с номерами , где .

Дугу с пометкой назовем выделенной, если

Из графа удалим все вершины вида вместе с инцидентными им дугами, если последние, в свою очередь, инцидентны только вершинам такого же вида, а также изолированные вершины. Полученный в результате такого удаления ориентированный конечный граф назовем проверочным графом автомата и обозначим его .

Теорема 3.2. Автомат является ОБПИ-автоматом тогда и только тогда, когда все пути в проверочном графе , ведущие в вершины вида , не содержат выделенных дуг.

Необходимость. Пусть есть ОБПИ-автомат, но в существует путь с выделенной дугой , ведущий в вершину вида . Предположим, что и - два таких входных слова, что , и они соответствуют пути по графу в , начинающемуся с упомянутой выделенной дуги. Последнее означает, что

Из сравнения этого высказывания с (3.1) вытекает, что не может быть ОБПИ-автоматом, а это противоречит исходной посылке.

Достаточность. Докажем ее методом от противного. Пусть не является ОБПИ-автоматом. Покажем тогда, что в графе существует путь, ведущий в вершину вида , содержащий выделенную дугу. Поскольку не есть ОБПИ-автомат, то

Пусть и - первые слева символы в словах и , проекции которых по каналам различны. Пусть при подаче этих символов автомат осуществляет переходы из состояний в состояния соответственно. Отсюда следует, что в графе существует выделенная дуга, соединяющая вершины и . Это означает существование в графе пути из в , первая дуга которого выделенная. Этим завершается доказательство достаточности условий теоремы.

В качестве примера на рис.3.2 изображен проверочный граф для автомата, представленного на рис.3.1, в предположении, что . На рисунке двойные стрелки соответствуют выделенным дугам, над каждой дугой стоит соответствующая ей пометка. В этом проверочном графе все возможные пути, заканчивающиеся в вершинах вида , могут начинаться только в вершинах либо , при этом конечной вершиной в любом из этих путей является вершина . Из рис.3.2 видно, что ни один из этих путей не содержит выделенных дуг, следовательно, рассматриваемый автомат относится к классу ОБПИ-автоматов.

Рис. 3.2.

Если задан автомат с входными и выходными каналами, то возникает вопрос: для каких подмножеств входных и выходных каналов он является ОБПИ-автоматом? Очевидно, что может не быть БПИ-автоматом в классическом смысле, но в то же время быть ОБПИ-автоматом, если восстановление входных сигналов производится по некоторому подмножеству входных каналов.

При отыскании всех возможных подмножеств входных и выходных каналов, для которых заданный автомат является ОБПИ-автоматом, в первую очередь представляет интерес случай, когда подмножество входных каналов - максимальное, а подмножество выходных каналов - минимальное по мощности. Далее такой автомат будем называть оптимальным. Это соответствует ситуации, когда при минимальных затратах, определяемых объемом наблюдаемой информации на выходах, удается однозначно восстановить максимальный объем информации, поступившей на вход автомата.

Опишем способ, позволяющий получить ответ на сформулированный выше вопрос. Условимся далее через обозначать автомат, у которого выходные символы наблюдаются по каналам с номерами из множества , а восстановление сигналов ведется по каналам с номерами из множества .

По графу автомата построим его проверочный граф при и , т. е. предполагая, что реакция наблюдается по всем его выходным каналам, а восстановление неизвестного входного слова также ведется по всем каналам. Используя , найдем в нем все пути, ведущие в вершины вида , и образуем на этой основе множество всех входящих в эти пути выделенных дуг. Если , то по теореме 3.2 автомат есть ОБПИ-автомат, и при он будет, очевидно, таковым для любого , где . Если , то для каждого построим множество целых чисел, представляющих собой номера входных каналов, на которых на дуге происходит потеря информации. Последнее означает, что если реакция автомата соответствует отметке дуги , то в каналах с номерами из множества сигналы могут иметь значения как 0, так и 1. Используя множество , построим . Из способа построения следует, что, во-первых, содержит все те номера входных каналов, по каждому из которых и по их совокупности рассматриваемый автомат является ОБПИ-автоматом, и, во-вторых, - максимальный по мощности, сохраняющий свойство ОБПИ.

Далее через обозначим проверочный граф автомата , предполагая, что наблюдение реакций ведется по каналам с номерами из множества , а восстановление неизвестного входного слова - по каналам с номерами из множества .

Пусть . Для каждого , построим проверочный граф . Нетрудно сообразить, что дуги графа одновременно являются и дугами графа , но в последнем, кроме того, могут появиться и новые. Если последний упомянутый граф удовлетворяет условиям теоремы 3.2, то, очевидно, -й выходной канал избыточен в том смысле, что отказ от наблюдения реакции по нему не повлияет на возможности восстановления неизвестного входного слова по каналам из множества . Пусть - множество номеров всех избыточных выходных каналов автомата . Если , то построенный на 1-м этапе автомат - искомый. При рассмотрим все возможные сочетания пар каналов из множества , число которых равно . Для каждой из упомянутых пар каналов построим проверочный граф и проверим для него выполнение условий теоремы 3.2. Если ни один из таких графов не удовлетворяет условиям этой теоремы, то автоматы , - искомые оптимальные автоматы. В противном случае формируем все возможные сочетания троек номеров из множества и ищем среди проверочных графов такие, которые удовлетворяют условиям теоремы 3.2. Указанный процесс продолжается до того момента, когда на очередном этапе все графы вида , где , не удовлетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда автоматы , построенные на предыдущем этапе и являющиеся ОБПИ-автоматами, - искомые оптимальные.

Отметим, что для поиска всех оптимальных ОБПИ-автоматов в худшем случае может потребоваться построение различных проверочных графов, где - число избыточных выходных каналов автомата .

Вопросы и упражнения

1. Дайте определение пары состояний с потерей информации.
2. Сформулируйте определение обобщенного автомата без потери информации.
3. Приведите критерий принадлежности автомата классу автоматов ОБПИ в терминах СПИ-состояний.
4. Опишите процедуру распознавания проекции неизвестного входного слова, поданного на ОБПИ-автомат.
5. Опишите процедуру построения проверочного графа автомата.
6. Приведите критерий принадлежности автомата классу ОБПИ-автоматов в терминах проверочного графа.
7. Дайте определение оптимального ОБПИ-автомата.
8. ОБПИ-автомат задан графом на рис.3.1. Пусть для наблюдения реакции выделен 1-й выходной канал автомата (он соответствует левому символу входной пары), а проекция неизвестного входного слова должна быть восстановлена по первому входному каналу. Пусть множество допустимых начальных состояний автомата есть . На этот автомат подано неизвестное входное слово длины 2, а по первому выходному каналу наблюдалась реакция 0,1. Требуется восстановить проекцию по первому каналу неизвестного входного слова.