Опубликован: 09.11.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 3659 / 734 | Оценка: 4.66 / 4.45 | Длительность: 54:13:00
Специальности: Экономист
Лекция 1:

Различные виды статистических данных

Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >

1.4. Нечеткие множества - частный случай нечисловых данных

Нечеткие множества. Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A может быть задано своей характеристической функцией

\mu_B(x)=
\left \{
\begin{gathered}
1,x\in B,\\
0,x\notin B
\end{gathered}
\right. ( 1)

Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности \mu_C:A\rightarrow [0,1]. Значение функции принадлежности в точке х показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х - она одновременно и входит, и не входит в нечеткое множество С. За вхождение - \mu_C(x) шансов, за второе - (1-\mu_C(x)) шансов.

Если функция принадлежности \mu_C(x) имеет вид (1) при некотором B, то C есть обычное (четкое) подмножество A. Таким образом, теория нечетких множество является не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества - частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости, как целое, обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения, например, в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

\mu_B(x)=
\left \{
\begin{gathered}
1,x\in [a,b],\\
0,x\notin [a,b]
\end{gathered}
\right.

задает интервальную неопределенность - про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено в 1965 г. работой американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. [ [ 1.16 ] ].

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятиями, качеством продукции и технологическими процессами, при описании предпочтений потребителей и варки стали.

Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и D - два нечетких подмножества A с функциями принадлежности \mu_C(x) и \mu_D(x) соответственно. Пересечением C\bigcap D, произведением CD, объединением C\bigcup D, отрицанием \overline{C}, суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности

\begin{multiline*}
\mu_{C\cap D}(x)=\min(\mu_C(x),\mu_D(x)),\mu_{CD}(x)=\mu_C(x)\mu_D(x),\mu_{\overline{C}}(x)=1-\mu_C(x), \\
\mu_{C\cup D}(x)=\max(\mu_C(x),\mu_D(x)),\mu_{C+D}(x)=\mu_C(x)+\mu_D(x)-\mu_C(x)\mu_D(x),x\in A
\end{multiline*}

соответственно.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен ниже в "Теоретическая база прикладной статистики" . Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами де Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap\overline{B},\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup\overline{B}. ( 2)

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap\overline{B},\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup\overline{B}, ( 3)
\overline{A+B}=\overline{A}\overline{B},\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}. ( 4)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, A+A\ne A за исключением случая, когда А - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С

A\bigcap(B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup(A\bigcap C) ( 5)

В то же время равенство

A(B+C)=AB+AC ( 6)

справедливо тогда и только тогда, когда при всех y\in Y

(\mu_A^2(y)-\mu_A(y))\mu_B(y)\mu_C(y)=0.

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент y\in Y. Для сокращения записи обозначим a=\mu_A(y),b=\mu_B(y),c=\mu_C(y) Для доказательства тождества (5) необходимо показать, что

\min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)) ( 7)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала a\leq b\leq c. Тогда левая часть соотношения (7) есть \min(a,c)=a, а правая \max(a,a)=a, т.е. равенство (7) справедливо.

Пусть b\leq c\leq a. Тогда в соотношении (7) слева стоит \min(a,c)=c, а справа \max(b,a)=a, т.е. соотношение (7) опять является равенством.

Если b\leq c\leq a, то в соотношении (7) слева стоит \min(a,c)=c, а справа \max(b,c)=c, т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (5) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

\mu_{A(B+C)}(y)=a(b+c-bc)=ab+ac-abc

и

\mu_{AB+AC}(y)=ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac-a^2bc.

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда a^2bc = abc, что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек y\in Y, для которых \mu_A(y)>0.

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств B и C совпадают с Y, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда A - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию \mu_B(y)\mu_C(y)\ne 0 при всех y\in Y. Тогда из теоремы 2 следует, что \mu_A^2(y)-\mu_A(y)=0, т.е. \mu_A(y)=1 или \mu_A(y)=0, что и означает, что A - четкое множество.

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие "богатый" часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 2004 г. небольшое пилотное социологическое исследование представления различных слоев населения о понятии "богатый человек".

Мини-анкета опроса выглядела так:

  1. При каком месячном доходе (в тыс. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?
  2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

    a) богатые;

    б) достаток выше среднего;

    в) достаток ниже среднего;

    г) бедные;

    д) за чертой бедности.

    (В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например "в" - категория, "б" - категория и т.д.)
  3. Ваша профессия, специальность.
Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >