Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3209 / 642 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Интерполяция функций

Аннотация: Рассматривается задача алгебраической интерполяции. Обусловленность задачи исследуется на основе рассмотрения константы Лебега. Доказывается теорема об остаточном члене интерполяции. Выводятся формулы алгебраической интерполяции с кратными узлами. Рассматривается задача гладкого восполнения функции (локальными и нелокальными сплайнами, а также естественный базис в пространстве сплайн - функций — B - сплайны.

6.1. Постановка задачи интерполяции

Пусть задана совокупность узлов интерполяции или сетка на некотором отрезке [a, b]. В простейшем случае сетка — равномерная, т.е. расстояние между соседними узлами одинаково. В дальнейшем также рассмотрим неравномерные сетки.

  1. Совокупность узлов \left\{{t_n}\right\}_{n = 0}^N, t_{n} = a + n\tau, \tau  = (b - a)/N, t \in \left[{a, b}\right].
  2. Сеточная проекция функции f(t) на [a, b], т.е. таблица f_n =  = \left\{{f(t_n)}\right\}_{n = 0}^N ; эту таблицу задает оператор ограничения на сетку или рестрикции (от английского restriction ) \mathbf{R}.

Задача состоит в том, чтобы по таблице {fn} восстановить непрерывную функцию. Обозначим ее через F(t). Разумеется, она отличается от исходной функции f(t), причем такое восстановление неоднозначно и осуществляется оператором интерполяции \mathbf{I}. Сама функция F(t) называется интерполирующей или интерполянтом. Необходимо оценить потерю информации при действии этого оператора, т. е. величину |f(t) - F(t)|, зависящую от типа оператора интерполяции и свойств f(t), в частности, ее гладкости. Таким образом, имеем схему:

f(t) \mathop  \to\limits_{\mathbf{R}} \left\{{f_n}\right\}_{n = 0}^{N} \mathop  \to\limits_{\mathbf{I}} F(t).

6.2. Кусочно - линейная интерполяция

Простейший способ интерполяции — кусочно - линейная, требующая минимальных требований на гладкость функции f(t). При таком способе интерполяции соседние точки ( tn, fn ) и ( tn + 1, fn + 1 ) соединяют отрезками прямых

$  F(t) = \frac{f_{n + 1} (t - t_n) + f_n (t_{n + 1} - t)}{t_{n + 1} - t_n}, 
t \in [t_n , t_{n + 1} ].  $

Теорема. Пусть f(t) — Липшиц непрерывная функция, т.е. | f(t_1 ) - f(t_2 ) | \le c \left|{t_1 - t_2 }\right|, тогда

$  \left|{f(t) - F(t)}\right| \le c\frac{\tau }{2}  $.

Примечание. Если сетка неравномерная и \tau = \max\limits_n
(t_{n + 1} - t_n), то теорема верна и для этого случая.

Доказательство.

Пусть t \in [t_n , t_{n + 1} ], обозначим \tau  = t_{n + 1} - t_{n}. Тогда t = t_n + \alpha \cdot \tau ; 0 \le \alpha  \le 1. В силу линейности f(t) имеем равенство F(t) = \alpha f_{n + 1} + (1 - \alpha )f_n.

Оценим разность

\begin{gather*}
\left|{F(t) - f(t)}\right| = \left|{\alpha f_{n + 1} + (1 - \alpha )f_n - \alpha f(t) - (1 - \alpha )f(t)}\right|  \le \\ 
\le \alpha \left|{f_{n + 1} - f(t)\left. {}\right| + (1 - \alpha )}\right|f_n - f(t)\left. {}\right|.
\end{gather*}

Поскольку f_{n + 1} = f(t_{n} + \tau ), имеем

\begin{multline*}
\left|f_{n + 1} - f(t)\right| = \left|f(t_n + \tau) - f(t_n + \alpha\tau)\right| \le \left|c(1 - \alpha )\tau\right| = \\
 = c(1 - \alpha)\tau, \quad \mbox{т.к. }\quad 0 \le \alpha \le 1.
\end{multline*}

Аналогично \left|{f_n - f(t)}\right| \le c\alpha \tau. В таком случае \left|{f(t) - F(t)}\right| \le 2\alpha (1 - \alpha ) c\tau  \le c\tau/2.

Замечание. Простой аппарат кусочно - линейной интерполяции позволяет ввести объекты, на которых базируется один из наиболее известных современных численных методов — метод конечных элементов. Сетке { tn } ставится в соответствие набор базисных функций \varphi_n(t), каждая из которых сопоставляется своему узлу tn, причем \varphi_n (t_k ) = \delta_k^{n}, \varphi_n (t_{n - 1}) = \varphi_n (t_{n + 1}) = 0, \varphi_n (t_n) = 1, а в остальных точках она вычисляется с помощью кусочно - линейной интерполяции.

Функция f(t) в этом случае представляется в виде

F(t) = \sum\limits_{n = 0}^{N}{f_n}\varphi_n (t).

В вычислительной математике часто используется кусочно - полиномиальная интерполяция. Так, эрмитовым кубическим интерполянтом называется кусочно - кубический интерполянт с непрерывной производной, кубическим сплайном называется кусочно - кубический интерполянт с двумя непрерывными производными. О сплайнах речь пойдет ниже.

Евгений Бурцев
Евгений Бурцев
Россия
Максим Виноградов
Максим Виноградов
Россия, Москва