Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем
5.1. Сжимающие отображения. Итерации. Метод простых итераций (МПИ)
Рассмотрим системы нелинейных алгебраических уравнений, записанные в векторном виде.
Система нелинейных алгебраических уравнений
![]() |
( 5.1) |
может быть также представлена в равносильном виде
![]() |
( 5.2) |
где Ln — n - мерное евклидово пространство. Как правило, для нелинейной системы переход от формы записи (5.1) к равносильному виду (5.2) осуществляется не единственным образом.
Поставим в соответствие системе (5.2) итерационный процесс, определяющий последовательность итераций (последовательных приближений к решению) . Соответствующий итерационный процесс записывается в форме
![]() |
( 5.3) |
Для дальнейшего изложения потребуется понятие отображения. Отображением называется закон, по которому каждому элементу x некоторого множества X однозначно сопоставляется
определенный элемент y множества Y ( X
может совпадать с Y ). Это соотношение между элементами и
записывается как y = f(x) или
Говорят, что отображение f действует из X в
Отображение
называют преобразованием множества X, это
отображение f преобразует множество X в себя. В функциональном анализе и линейной алгебре вместо термина "отображение" часто употребляется термин "оператор", в случае, если X и Y — числовые множества, употребляется термин "функция".
Определение. Область называется
выпуклой, если наряду с любыми двумя точками
и
она включает все точки отрезка [a, b], т.е. точки с координатами u = a + t(b - a), где
Определение. Отображение называется сжимающим в замкнутой выпуклой области
если существует такое число 0 < q < 1, что
![\rho \left[{{\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_1 ), {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_2 )}\right] \le
q\rho ({\mathbf{u}}_1, {\mathbf{u}}_2 )](/sites/default/files/tex_cache/5f6d9c5e602f5334ac37e6b1575a9bee.png)
при любых u1, u2, принадлежащих области здесь
— расстояние между элементами. В линейном нормированном пространстве
Приведем без доказательства одну из основных теорем функционального анализа.
Теорема (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение имеет в одну и только одну неподвижную точку
Более подробно о сжимающих отображениях и другие теоремы о неподвижных точках можно найти, например, в [5.1], [5.2], [5.3].
Теорема (о сжимающем отображении [5.1], [5.5].)
Последовательность элементов n - мерного евклидова пространства, порожденная итерационным процессом

сходится к решению системы нелинейных алгебраических
уравнений
если отображение

является сжимающим; при этом выполнено

Доказательство.
По определению сжимающего отображения
![\begin{gather*}
\rho ({\mathbf{u}}_{k + 1}, {\mathbf{u}}_k) = \rho \left[{{\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_k), {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_{k - 1})}\right] \le \\
\le q\rho ({\mathbf{u}}_k, {\mathbf{u}}_{k - 1}) \le \ldots \le q^k \rho ({\mathbf{u}}_0, {\mathbf{u}}_1 ) = q^k \rho_0 .
\end{gather*}](/sites/default/files/tex_cache/12ac67509fa03cf98aa32bdcfee3df99.png)
В таком случае получим цепочку неравенств при p > k:

В соответствии с критерием Коши существования предела последовательности,
последовательность { } стремится к пределу
поскольку правая часть неравенства стремиться к нулю при