Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3209 / 642 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Аннотация: Рассматриваются численные методы решения нелинейных уравнений и систем. На основе принципа сжимающих отображений рассматриваются условия сходимости итерационных методов. Доказывается квадратичная сходимость метода Ньютона. Рассматривается задача о динамике простейшего нелинейного дискретного отображения - логистического. Дается понятие о бифуркациях дискретного отображения.

5.1. Сжимающие отображения. Итерации. Метод простых итераций (МПИ)

Рассмотрим системы нелинейных алгебраических уравнений, записанные в векторном виде.

Система нелинейных алгебраических уравнений

{\mathbf{f(u)} = 0} ( 5.1)

может быть также представлена в равносильном виде

\mathbf{u} = \mathbf{F(u)}, ( 5.2)

где {\mathbf{u}} \in L^n Lnn - мерное евклидово пространство. Как правило, для нелинейной системы переход от формы записи (5.1) к равносильному виду (5.2) осуществляется не единственным образом.

Поставим в соответствие системе (5.2) итерационный процесс, определяющий последовательность итераций (последовательных приближений к решению) . Соответствующий итерационный процесс записывается в форме

{\mathbf{u}}_{k + 1} = {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_k), \quad   u_0 = a, k = 0, 1, \ldots . ( 5.3)

Для дальнейшего изложения потребуется понятие отображения. Отображением называется закон, по которому каждому элементу x некоторого множества X однозначно сопоставляется определенный элемент y множества Y ( X может совпадать с Y ). Это соотношение между элементами x \in X и y \in Y записывается как y = f(x) или f: x \rightarrow y. Говорят, что отображение f действует из X в Y (f: X \rightarrow Y). Отображение f: X \rightarrow X называют преобразованием множества X, это отображение f преобразует множество X в себя. В функциональном анализе и линейной алгебре вместо термина "отображение" часто употребляется термин "оператор", в случае, если X и Y — числовые множества, употребляется термин "функция".

Определение. Область \Omega  \in L^{N} называется выпуклой, если наряду с любыми двумя точками a \in \Omega и b \in \Omega она включает все точки отрезка [a, b], т.е. точки с координатами u = a + t(b - a), где 0 \le t \le 1.

Определение. Отображение {\mathbf{v}} = {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}) называется сжимающим в замкнутой выпуклой области \Omega, если существует такое число 0 < q < 1, что

\rho \left[{{\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_1 ), {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_2 )}\right] \le 
q\rho ({\mathbf{u}}_1, {\mathbf{u}}_2 )

при любых u1, u2, принадлежащих области \Omega, здесь \rho(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2)расстояние между элементами. В линейном нормированном пространстве \rho ({\mathbf{u}}_1, {\mathbf{u}}_2 ) = \left\|{{\mathbf{u}}_1 - {\mathbf{u}}_2}\right\|.

Приведем без доказательства одну из основных теорем функционального анализа.

Теорема (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение имеет в \Omega одну и только одну неподвижную точку u^{*} \in \Omega.

Более подробно о сжимающих отображениях и другие теоремы о неподвижных точках можно найти, например, в [5.1], [5.2], [5.3].

Теорема (о сжимающем отображении [5.1], [5.5].)

Последовательность \left\{{{\mathbf{u}}_k}\right\}, k = 0, 1, \ldots элементов n - мерного евклидова пространства, порожденная итерационным процессом

{\mathbf{u}}_{{k + 1}} = {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_k), {\mathbf{u}}_0 = {\mathbf{a}},

сходится к решению \mathbf{U} системы нелинейных алгебраических уравнений \mathbf{u} = \mathbf{F(u)}, если отображение

{\mathbf{v}} = {\mathbf{F}}({\mathbf{u}})

является сжимающим; при этом выполнено

$  \rho ({\mathbf{U}}, {\mathbf{u}}_k) \le \frac{q^k}{1 - q}\rho ({\mathbf{u}}_0, {\mathbf{u}}_1 ).  $

Доказательство.

По определению сжимающего отображения

\begin{gather*}
\rho ({\mathbf{u}}_{k + 1}, {\mathbf{u}}_k) = \rho \left[{{\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_k), {\mathbf{F}}({\mathbf{u}}_{k - 1})}\right] \le \\  
\le q\rho ({\mathbf{u}}_k, {\mathbf{u}}_{k - 1}) \le  \ldots \le q^k \rho ({\mathbf{u}}_0, {\mathbf{u}}_1 ) = q^k \rho_0 .
\end{gather*}

В таком случае получим цепочку неравенств при p > k:

\begin{gather*} \rho ({\mathbf{u}}_p, {\mathbf{u}}_k) \le \rho 
({\mathbf{u}}_p, {\mathbf{u}}_{p - 1}) + \ldots + \rho ({\mathbf{u}}_{k + 1}, {\mathbf{u}}_k) \le \\  
\le q^{p - 1}\rho_0 + \ldots + q^k \rho_0  \le q^k \rho_0 \sum\limits_{i = 0}^\infty  q^i = \rho_0 \frac{q^k}{1 - q}. 
\end{gather*}

В соответствии с критерием Коши существования предела последовательности, последовательность { \mathbf{u}_k } стремится к пределу \mathbf{U}, поскольку правая часть неравенства стремиться к нулю при k \to \infty.

Сергей Постнов
Сергей Постнов
Россия, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004