Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

Определение. Точка называется периодической периода m, если f^m (a) = a и при 0 < i < m.

Отметим, что каковы бы ни были попарно различные точки u₁, u₂, ..., u_m, если положить f(u_i) = u_{i + 1}, i = 1, 2, ..., m - 1 и f(u_m) = u₁, то рассматриваемое отображение будет иметь периодическую траекторию периода m: u₁, u₂, ..., u_m, u₁, u₂, ..., u_m, ...

Если к тому же f(u) имеет первую производную, то в окрестности каждой из точек u_i выполнено

или

Будем рассматривать f^m(u) как сложную функцию. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

Если то траектория приближается к циклу {u₁, ..., u_k}, или Такой цикл называется притягивающим циклом, а величина — мультипликатором цикла. Цикл может быть как притягивающим, так и отталкивающим.

Определение. Цикл P_m = {u₁, ..., u_m} отображения переводящего множество X в себя, называется притягивающим, если существует число k₀, такое, что для любого k > k₀ траектория распадается на m последовательностей, каждая из которых сходится к точкам u₁, ..., u_m соответственно.

Достаточным условием существования притягивающего (отталкивающего) цикла является выполнение неравенства где — мультипликатор цикла.

Отметим интересные свойства функции f²(u), в частности, ее график пересекается с прямой y = u не только в неподвижных точках рассматриваемого отображения, u₁, u₂, но и в точках цикла P₂. Таким образом, можно сказать, что бифуркация рождения цикла обусловлена потерей устойчивости одной предельной точки и появлением двух устойчивых предельных точек отображения f²(u). На рис. 5.6а, в показано поведение функции f²(u) при разных значениях параметра ( ).

Рис. 5.6.

При увеличении у отображения появляются новые неподвижные точки. Мультипликатор цикла P₂ вычисляется следующим образом:

Очевидно, что если тогда цикл P₂ — притягивающий. Траектория притягивается циклом {u₃, u₄} и подпоследовательность сходится к одной точке цикла, а — к другой.

Знак мультипликатора дает информацию о характере приближения траектории к циклу. В частности, если то подпоследовательности и начиная с некоторого u, являются монотонными, одна из них возрастающая, а другая — убывающая, что зависит от знаков f'(u₃) и f'(u₄).

При значение мультипликатора и подпоследовательности и приближаются к точкам {u₃, u₄} немонотонно.

Рассмотрим теперь случай

При происходит вторая бифуркация удвоения периода.

Цикл {u₃, u₄} из притягивающего превращается в отталкивающий, при Появляется новый притягивающий цикл P₄:

Для популяционной динамики это означает, что численность особей колеблется с периодом 4 единицы времени. Соответствующий график приведен на рис. 5.7.

Рис. 5.7.