Интерполяция функций
Интегрируя последнее соотношение еще раз, получаем:
An — константа интегрирования. После второго интегрирования положим т.е. вместо двух констант An, Bn введем две новые константы, более удобные для дальнейших выкладок.
Из условий S(tn) = fn, S(tn + 1) = fn + 1, получаем:
Приравняем первые производные в tn справа и слева S't(tn + 0) = S't(tn - 0), получим систему уравнений для определения коэффициентов сплайна:
( 6.3) |
которая дополняется соответствующими граничными условиями. В случае свободного сплайна m0 = mN = 0.
Систему для определения коэффициентов, называемых моментами кубического сплайна, можно записать в матричной форме
и — векторы - столбцы:
Матрица симметрична, имеет свойство диагонального преобладания и, как можно показать, положительно определена, а следовательно, неособенная. Значит, решение рассматриваемой СЛАУ существует и единственно. Следовательно, и задача о построении кубического сплайна имеет единственное решение. Для других типов краевых условий доказательство проводится аналогично. Метод решения такой СЛАУ, который будет рассмотрен в "Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений" — прогонка.
Теорема (без доказательства.) Для функции и интерполирующего ее сплайна S (t), построенного на сетке имеют место следующие неравенства:
где M4 = || f(4)(t) ||[a, b],
Отсюда следует, что при последовательность функций S(k)(t), i = 0, 1, 2 (кубический сплайн и первые две его производные) сходится, соответственно, к f(k)(t).
Теорема (экстремальное свойство кубических сплайнов (без доказательства.) Пусть сплайн S(t) интерполирует функцию f(t) на системе узлов
Тогда S(t) с краевыми условиями S''(a) = S''(b) = 0 доставляет минимум функционалу
среди всех функций т.е. функций, имеющих интегрируемые с квадратом вторые производные сходится на отрезке [a, b] ) и интерполирующих f(t) на отрезке [a, b].
Локальный сплайн. Локальная форма сплайн - интерполяции предложена В. С. Рябеньким [6.9], [6.10]. Рассмотрим неравномерную сетку: tn - tn - 1 = hn - 1, tn + 1 - tn = hn. В узлах сетки определены значения функции: fn - 1, fn , fn + 1. Не вдаваясь в детали, приведем важные для практического использования формулы в случае постоянного шага сетки h = const . Построим интерполяционный полином второго порядка P2(x) в форме Ньютона (d - fn)/h:
( 6.4) |
Этот полином приближает f на отрезке [ tn - 1, tn + 1 ] с точностью до o(h2). Рассмотрим теперь полином
представляющий собой аппроксимацию функции f на отрезке [tn - 1, tn + 1] с непрерывными первой и второй производными. В [6.1] доказано, что выражение (6.4) аппроксимирует с порядком o(h3 - m) во всех точках отрезка. Так как коэффициенты сплайна зависят от значений функции лишь в 4-х соседних точках и для определения коэффициентов (6.4) не требуется решать систему линейных уравнений, такая кусочно - гладкая интерполяция называется локальным сплайном.
Замечание. Q5(t, fn) уже не обладает экстремальным свойством.