НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Теорема. (об устойчивости по начальным данным для несамосопряженного оператора $\mathbf{A}$ (без доказательства))

Разностная схема

${\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}_{n + 1} - {\mathbf{u}}_n}}{\tau} + {\mathbf{Au}}_n = 0$

равномерно устойчива по начальным данным, если

$({\sigma}- 0, 5){\tau}\|\mathbf{Au}\|^2 + (\mathbf{Au}, \mathbf{u}) \ge 0,$

причем для ее решения справедлива оценка

$\|\mathbf{u}_{n + 1}\| \le \|\mathbf{u}_n \| , \quad n = 0, \ldots , N - 1.$

Таким образом, рассмотрен вопрос об устойчивости разностной схемы, записанной в операторной канонической форме

${{\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + {\mathbf{Au}}^{n} = 0}$

( 1.10)

в случае ${\mathbf{B}} = {\mathbf{B}}^* > 0, {\mathbf{A}} = {\mathbf{A}}^* > 0$ , причем $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — постоянные матрицы. Рассмотрим более сложные случаи, в частности схему с весами

${\frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + {\mathbf{Au}}^{({\sigma})} = 0, }$

( 1.11)

где $\mathbf{A}$ — кососимметрический оператор: ${\mathbf{A}} = - {\mathbf{A}}^*$ , тогда $({\mathbf{Ay}}, {\mathbf{y}}) = ({\mathbf{y}}, {\mathbf{A}}^*{\mathbf{y}}) = - ({\mathbf{Ay}}, {\mathbf{y}}) {\forall}{\mathbf{y}}$ . Пример таких схем — простейшие разностные схемы для уравнения переноса:

$\frac{{{\mathbf{u}}_m^{n + 1} - {\mathbf{u}}_m^{n}}}{\tau} + a \frac{{{\mathbf{u}}_{m + 1}^{n} - {\mathbf{u}}_{m - 1}^{n}}}{{2h}} = 0.$

Представим разностную схему (1.11) в каноническом виде (1.10)

${\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} + {\mathbf{Au}}^{n} = 0, \quad \mbox{где} \quad {\mathbf{B}} = {\mathbf{E}} + {\sigma}\tau{\mathbf{A}}.$

Заметим, что $({\mathbf{BU}}, {\mathbf{u}}) = ({\mathbf{u}}, {\mathbf{u}}) + {\sigma}{\tau}({\mathbf{Au}}, {\mathbf{u}}) = ({\mathbf{u}}, {\mathbf{u}}) = \|{\mathbf{u}}\|^2$ . Кроме того, ${\forall}{\mathbf{u}}: \quad \|{\mathbf{u}}\| \ne 0$ верно $({\mathbf{BU}}, {\mathbf{u}}) > 0$ . Тогда ${\exists}{\mathbf{B}}^{- 1}$ , и, сделав замену, ${\mathbf{u}} = {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}$ , имеем:

$\begin{gather*} \|{\mathbf{u}}\|^2 = \|{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}\|^2 = ({\mathbf{BB}}^{- 1}{\mathbf{x}}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}) = ({\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}, {\mathbf{x}}) \le \|{\mathbf{B}}^{ - 1}{\mathbf{x}}\| \cdot \|{\mathbf{x}}\| , \\ \|{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{x}}\| \le \|{\mathbf{x}}\| \quad \mbox{и} \quad \|{\mathbf{B}}^{- 1}\| \le 1. \end{gather*}$

Схема (1.10) представима в виде

${\mathbf{BU}}^{n + 1} = {\mathbf{BU}}^{n} -{\tau}{\mathbf{Au}}^{n} = 0; {\mathbf{u}}^{n + 1} = {\mathbf{u}}^{n} -{\tau}{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} = 0$

(разрешенный относительно верхнего временного слоя вид).

Найдем $({\mathbf{BU}}^{n + 1}, {\mathbf{u}}^{n + 1})$ .

$\begin{gather*} ({\mathbf{BU}}^{n + 1} , {\mathbf{u}}^{n + 1} ) = ({\mathbf{BU}}^{n} -{\tau}{\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n} -{\tau}{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n}) = \\ = ({\mathbf{BU}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n} ) -{\tau}[({\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{u}}^{n} ) + ({\mathbf{BU}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} )] +{\tau}^2 ({\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ). \end{gather*}$

В этом случае идеология доказательства оказывается похожей на доказательство устойчивости методов Рунге - Кутты на нейтральных по устойчивости траекториях. Первое слагаемое в квадратных скобках равно нулю, оценим второе слагаемое:

$\begin{gather*} {\mathbf{B}} = {\mathbf{E}} + {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}} \equiv {\mathbf{E}} - {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}} + 2 {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}} = {\mathbf{B}}^* + 2 {\sigma}{\tau}{\mathbf{A}}; \\ ({\mathbf{BU}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ) = ({\mathbf{B}}^* {\mathbf{u}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ) + 2 {\sigma}{\tau}({\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n} ); \end{gather*}$

первое из слагаемых в левой части выражения — нуль. В результате имеем:

$$ {\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\|^2 = \|{\mathbf{u}}^{n}\|^2 - (2 {\sigma}- 1){\tau}^2({\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{Au}}^{n}, {\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{Au}}^{n}).}$

( 1.12)

Если ${\sigma}\ge 0, 5$ , то $\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\| \le \|{\mathbf{u}}^{n}\|$ , и схема устойчива по начальным данным. Можно показать, что она также будет устойчива и по правой части.

Пусть теперь $\sigma < 0, 5$ . Из (1.12) следует, что

$\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\|^2 \le \|{\mathbf{u}}^{n}\|^2 - (2 {\sigma}- 1){\tau}^2 \|{\mathbf{A}}\|^2 \|{\mathbf{u}}^{n}\|^2 \le (1 + c_0{\tau})\|{\mathbf{u}}^{n}\|^2,$

где $c_0 = (1 - 2 {\sigma}){\tau}\|{\mathbf{A}}\|^2$ . Если ${\tau}\|{\mathbf{A}}\|^2 \le c_2$ , то в случае $\sigma < 0,5$ разностная схема будет равномерно устойчива с ${\rho} = \sqrt {1 + c_0{\tau}} \le e^{0, 5c_0 \tau}$ . Из устойчивости по начальным данным и в этом случае следует устойчивость по правой части.

Рассмотрим пример: уравнение Шредингера движения частицы во внешнем поле ( m = 1 )

$i \hbar \frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}t} = - \frac{\hbar ^2}{2} \frac{{\partial}^2 {\psi}}{{\partial}x^2} + U {\psi},$

или, после обезразмеривания, получим

$- i \frac{{\partial}{\psi}}{\partial t} - \frac{1}{2} \frac{{\partial}^2{\psi}}{{\partial}x^2} + \tilde{U}{\psi} = 0.$

Если внешнего поля нет, можно потенциальную энергию частицы $\tilde{U}$ положить равной нулю. На отрезке [0;1] можно записать разностную схему "с комплексными коэффициентами", аппроксимирующую уравнение Шредингера:

$\begin{gather*} - i \frac{{\mathbf{\psi}}^{n + 1} - {\mathbf{\psi}}^{n + 1}}{\tau} - \frac{1}{2}{\mathbf{{\lambda}\psi}}^{({\sigma})} = 0, \\ {{\mathbf{{\lambda}\psi}}^{n} \equiv - \frac{{\psi_{m + 1}^{n} - 2 \psi_m^{n} + \psi_{m - 1}^{n}}}{{h^2}}.} \end{gather*}$

( 1.13)

Дальше >>

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Вопросы и ответы

Студенты