НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

1.2 Основные определения — сходимость, аппроксимация, устойчивость

1.2.1. Основные определения.

Дадим основные определения из теории разностных схем.

Пусть ${\mathbf{L}}u = F$ и ${\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = F_{\tau}$ — операторные обозначения исходной дифференциальной и аппроксимирующей ее разностной задачи (точнее, параметрического семейства задач); $\mathbf{L}$ и $\mathbf{L}_{\tau}$ — соответственно, дифференциальный и разностный операторы, $u \in \Omega , u_{\tau} \in \Omega_{\tau}$ — решения дифференциального и разностного уравнений , принадлежащие соответствующим функциональным пространствам, $F \in \omega , F_{\tau} \in \omega_{\tau}$ — правая часть исходного уравнения и ее проекция на расчетную сетку. Считается известным способ получения проекции непрерывной функции на сетку. В простейшем случае используются значения функции, вычисленные в узлах сетки. Индекс $\tau$ в этой операторной записи указывает на всю совокупность сеточных параметров. Можно сказать, что для дискретной задачи имеется не один оператор, а совокупность различных операторов , зависящих от набора параметров.

Например, задачу Коши для линейного одномерного уравнения переноса

$\begin{gather*} \frac{du}{dt} - \frac{du}{dx} = f (t , x), t \in [0, T], x \in [0, X], \\ u (0, x) = {\varphi}(x), \end{gather*}$

можно представить в виде

${\mathbf{L}}u = F.$

Здесь

$\begin{gather*} \mathbf{L}u = \left\{ \begin{array}{cc} {\frac{du}{dt} - \frac{du}{dx}, }& {t > 0} \\ {u (0, x), } & {t = 0} \\ \end{array} \right. \\ F(t , x) = \left\{ \begin{array}{cc} {f(t , x), } & {t > 0} \\ {{\varphi}(x), } & {t = 0} \\ \end{array} \right. \end{gather*}$

Одна из аппроксимирующих эту задачу разностных схем (правый уголок) имеет вид

$\begin{gather*} \frac{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}{\tau} - \frac{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}{h} = f_m^{n}, n = 0, \ldots , N - 1 , m = 0, \ldots , M - 1 , \\ u_m^0 = \varphi_m^0, \end{gather*}$

или в операторной форме

${\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = F_{\tau}$

где

$\begin{gather*} {\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h}, \\ u_m^0, \\ \end{array} \right. \\ F_{\tau} = \left\{ \begin{array}{l} f_m^{n}, \\ \varphi_m . \\ \end{array} \right. \end{gather*}$

Определение 1. Говорят, что решение $u_{\tau }$ сходится к решению при ${\tau}\to 0$ , если $\left\| {{u}_{\tau} - {{U}}_{\tau}}\right\| \to 0$ , где $U_{\tau }$ — проекция точного решения на разностную сетку; причем, если имеет место оценка $\left\| {{u}_{\tau} - {U}_{\tau}}\right\| \le c{\tau}^{p}$ , ${c \ne c({\tau})}$ , то сходимость имеет порядок p.