Нахождение границ

9.3. Поиск границ на основе лапласиана

Одним из ключевых элементов алгоритма Кэнни является подавление немаксимумов, которая основана на том, что граница должна проходить через максимум градиента на данном направлении. Эта идея становится интуитивно ясной при рассмотрении функции одной переменной: точка с экстремальным значением первой производной соответствует максимально быстрому перепаду значений.

Однако, как известно из математического анализа, необходимым и достаточным условием экстремального значения первой производной функции в некой точке является равенство нулю второй производной в этой точке, причем по разные стороны от точки вторая производная должна иметь разные знаки. Про такую точку говорят, что вторая производная в ней пересекает ноль.

В двумерном случае, который нас и интересует, аналогом первой производной является вектор градиента , а аналогом второй производной является скалярный оператор, называемый лапласианом . Приближение лапласиана при помощи линейной фильтрации рассматривалось нами "Фильтрация изображений" . Приведенная аналогия подтверждается и на рис. 8.5 - на нем видно, как лапласиан меняет знак при переходе через границы объектов.

Нахождение границ на изображении может, таким образом, производиться по аналогии с одномерным случаем: граничными признаются точки, в которых лапласиан равен нулю и вокруг которых он имеет разные знаки. Кроме того, оценка лапласиана при помощи линейной фильтрации предваряется гауссовской сглаживающей фильтрацией, чтобы снизить чувствительность алгоритма к шуму (аналогично тому, как это описано в разделе 9.2).

Несложно видеть (см. определение линейных фильтров "Фильтрация изображений" ), что композиция линейных фильтров есть линейный фильтр. Поэтому гауссовское сглаживание и поиск лапласиана можно осуществить единовременно при помощи фильтра, который

называется лапласиан гауссиана (рис. 9.5). Поиск пересечений нуля, так же, как и линейная фильтрация, является сравнительно быстрой операцией, поэтому нахождение границ при помощи лапласиана гауссиана производится гораздо быстрее, чем при помощи алгоритма Кэнни. Исходя из этого, описанный выше алгоритм применяется в системах, где принципиально и качество результата (которое обычно уступает алгоритму Кэнни), и быстродействие.

Чтобы еще уменьшить чувствительность алгоритма к несущественным деталям, из числа граничных точек можно исключить те, длина градиента в которых меньше порога (рис. 9.5). Для одномерного случая это будет соответствовать разумному требованию того, чтобы в точке перепада величина первой производной была не слишком маленькой.

Рис. 9.5. Нахождение границ при помощи лапласиана гауссиана. Первый рисунок- исходное изображение. Второй - результат фильтрации с фильтром лапласиан гауссиана. Третий - точки пересечения нуля. Четвертый - пороговая фильтрация точек пересечения нуля по длине градиента.