Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1878 / 92 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Лекция 8:

Алгоритмы рекуррентных соотношений

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Аннотация: Решение рекуррентных соотношений. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Случай равных корней характеристического уравнения. Производящие функции.

Решение рекуррентных соотношений

Будем говорить, что рекуррентное соотношение имеет порядок k, если оно позволяет выразить f(n + k) через f(n),f(n +
1),\ldots,f(n + k - 1). Например,

f(n + 2) = f(n)f(n + 1) - 3f^2 (n + 1) + 1
рекуррентное соотношение второго порядка, а
f(n + 3) = 6f(n)f(n + 2) + f(n + 1)
- рекуррентное соотношение третьего порядка. Если задано рекуррентное соотношение k -го порядка, то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей. Дело в том, что первые k элементов последовательности можно задать совершенно произвольно - между ними нет никаких соотношений. Но если первые k элементов заданы, то все остальные элементы определяются совершенно однозначно - элемент f(k + 1) выражается в силу рекуррентного соотношения через f(1),\ldots,f(k) элемент f(k + 2) - через f(2),\ldots,f(k + 1) и т.д.

Пользуясь рекуррентным соотношением и начальными членами, можно один за другим выписывать члены последовательности, причем рано или поздно получим любой ее член. Однако при этом придется выписать и все предыдущие члены - ведь не узнав их, мы не узнаем и последующих членов. Но во многих случаях нужно узнать только один определенный член последовательности, а остальные не нужны. В этих случаях удобнее иметь явную формулу для n -го члена последовательности. Некоторая последовательность является решением данного рекуррентного соотношения, если при подстановке этой последовательности соотношение тождественно выполняется. Например, последовательность

2,4,8,\ldots,2^n,\ldots
является одним из решений рекуррентного соотношения
f(n + 2) = 3f(n + 1) - 2f(n).
В самом деле, общий член этой последовательности имеет вид f(n) =
2^n. Значит, f(n + 2) = 2^{n + 2},f(n + 1) = 2^{2n + 1}. Но при любом n имеет место тождество 2^{n + 2}  = 3 \cdot
2^{n + 1}  - 2 \cdot 2^n. Поэтому 2^n является решением указанного соотношения.

Решение рекуррентного соотношения k -го порядка называется общим, если оно зависит от k произвольных постоянных C_1,C_2,\ldots,C_k и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного соотношения. Например, для соотношения

f(n + 2) = 5f(n + 1) - 6f(n) ( 8.1)
общим решением будет
f(n) = C_1 2^n  + C_2 3^n. ( 8.2)
В самом деле, легко проверить, что последовательность (8.2) обращает (8.1) в тождество. Поэтому нам надо только показать, что любое решение нашего соотношения можно представить в виде (8.2). Но любое решение соотношения (8.1) однозначно определяется значениями f(1) и f(2). Поэтому нам надо доказать, что для любых чисел a и b найдутся такие значения C_1 и C_2^{}, что
2C_1  + 3C_2  = a
и
2^2 C_1  + 3^2 C_2  = b.
Но легко видеть, что при любых значениях a и b система уравнений
2C_1  + 3C_2  = a
4C_1  + 9C_2  = b
имеет решение. Поэтому (8.2) действительно является общим решением соотношения (8.1).

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Андрей Поляков
Андрей Поляков
Россия, Воткинск