Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1878 / 92 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Лекция 10:

Производящие функции и рекуррентные соотношения

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >
Аннотация: Применение степенных рядов для доказательства тождеств. Производящие функции. Бином Ньютона. Ряд Ньютона. Производящие функции и рекуррентные соотношения. О едином нелинейном рекуррентном соотношении.

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.

Рассмотрим, например, известное нам разложение

\frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + x^2  + \ldots  + x^n  + \ldots

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем

\frac{1}{{(1 - x)^2 }} = 1 + 2x + 3x^2  + \ldots  + (n + 1)x^n  + \ldots ( 10.1)
Если заменить здесь x на – x, то получим, что
\frac{1}{{(1 + x)^2 }} = 1 - 2x + 3x^2  - \ldots  + ( - 1)^n (n + 1)x^n  + \ldots ( 10.2)
Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{(1 - x)^2 }}\frac{1}
{{(1 + x)^2 }} = 1 + [1( - 2) + 2 \cdot 1]x + [1 \cdot 3 + 2( - 2) + 3 \cdot
1]x^2  +  \hfill \\
  \ldots  + [1( - 1)^n (n + 1) + 2( - 1)^{n - 2} n + \ldots  + ( - 1)^n (n +
1) \cdot 1]x^n  + \ldots  \hfill \\
\end{gathered} ( 10.3)

Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях x обращаются в нуль, каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент же x^{2n} равен

1(2n + 1) - 2 \cdot 2n + 3(2n - 1) - \ldots  + (2n + 1).
Но функцию \frac{1}{{(1 - x)^2 (1 + x)^2 }} можно разложить в степенной ряд и иным образом. Мы имеем
\frac{1}{{(1 - x)^2 (1 + x)^2 }}=\frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }},
А разложение для \frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }} получается из разложения (10.1), если заменить в нем x на x^2:
\frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }}=1 + 2x^2  + 3x^4  + \ldots  + (n + 1)x^{2n}  +.... ( 10.4)
Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому коэффициент при x^{2n} разложении (10.3) должен равняться коэффициенту при x^{2n} в разложении (10.4). Отсюда вытекает следующее тождество:
1(2n + 1) - 2 \cdot 2n + 3(2n - 1) - \ldots  + (2n + 1)=n + 1.

Производящие функции

Пусть дана некоторая последовательность чисел a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots. Образуем степенной ряд

a_0  + a_1 x + \ldots  + a_n x^n  + \ldots.
Если этот ряд сходится в какой-то области к функции f(x), то эту функцию называют производящей для последовательности чисел a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots Например, из формулы
\frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + \ldots  + x^n  + \ldots
вытекает, что функция \frac{1} {{1 - x}} является производящей для последовательности чисел. А формула (10.1) показывает, что для последовательности чисел 1, 2, 3, 4, ..., n, ... производящей является функция \frac{1} {{(1 - x)^2 }}.

Нас будут интересовать производящие функции для последовательностей a_0, a_1,\ldots,a_n,\ldots, так или иначе связанных с комбинаторными задачами. С помощью таких функций удается получить самые разные свойства этих последовательностей. Кроме того, мы рассмотрим, как связаны производящие функции с решением рекуррентных соотношений.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >
Андрей Посохов
Андрей Посохов
Россия, Санкт-Петербург
Вадим Лелес
Вадим Лелес
Россия