Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1878 / 92 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Лекция 17:

Калейдоскоп из комбинаторных алгоритмов

< Лекция 16 || Лекция 17: 12345
Аннотация: Автоматическое построение лабиринтов. Бинарное дерево. Задача о восьми ферзях. Сортировки. Задача о назначениях (задачи выбора). Ханойская башня.

Автоматическое построение лабиринтов

Тезей должен был найти выход из Критского лабиринта или погибнуть, убитый Минотавром. Но что поразительно: найти вход в лабиринт - задача не менее трудная.

Здесь не представляется возможным описать все мыслимые лабиринты, да это и не требуется. Мы займемся простыми лабиринтами, построенными на прямоугольнике m\times n, где m,n — положительные целые числа. Внутри и на границах прямоугольника поставлены стенки по ребрам покрывающей его единичной квадратной сетки. Чтобы построить из прямоугольника лабиринт, выбьем одну единичную стенку на одной из сторон прямоугольника (получится вход в лабиринт); выбьем одну единичную стенку на противоположной стороне (получится выход) и еще удалим какое-то число строго внутренних стенок. Говорят, что лабиринт имеет решение, если между входом и выходом внутри лабиринта есть путь в виде ломаной, не имеющей общих точек со стенками. Решение единственно, если любые два таких пути проходят через одни и те же внутренние ячейки сетки. На рис. 17.1 приведен пример лабиринта 5\times 5.

Пример лабиринта

Рис. 17.1. Пример лабиринта

Один из возможных подходов к решению таков. Выбираем вход; затем, начав от него, добавляем по одной ячейке к главному пути-решению, пока он не достигнет выходной стороны. После этого удаляем некоторые внутренние стенки так, чтобы все клетки оказались соединенными с главным путем. Чтобы главный путь не получился прямым коридором, следует при его построении предусмотреть случайные повороты. Программа должна также следить за тем, чтобы при построении главного пути или при открытии боковых ячеек не нарушалась единственность решения. Наблюдательный читатель заметит, что определение единственности решения не годится в случае, когда путь заходит в боковой тупик и затем возвращается.

Программу можно написать почти на любом из процедурных языков.

Программа 1. Лабиринт.

{Программно задаются вход и выход. Нажимая на клавишу "Enter",
перебираем  всевозможные пути от входа до выхода в лабиринте.
Выход из программы по клавише "Esc".
Алгоритм реализован на языке программирования Turbo-Pascal}

program Maze;
uses
  Graph, Crt;

var
  m,n: Integer;
  Matrix: array [1..100,1..100] of Boolean;
  Start,Finish: Integer;

procedure PrepareGraph;
var
  Driver,Mode: Integer;
begin
  Driver:=VGA;
  Mode:=VGAHi;
  InitGraph(Driver,Mode,'c:\borland\tp\bgi');
end;

procedure DisplayMaze(x1,y1,x2,y2: Integer);
var
  i,j: Integer;
  dx,dy: Real;
begin
  SetFillStyle(1,8);
  SetColor(15);
  dx:=(x2-x1)/m;
  dy:=(y2-y1)/n;
  for i:=1 to n do
    for j:=1 to m do
      if not Matrix[i,j] then
        Rectangle(Round(x1+(i-1)*dx),Round(y1+(j-1)*dy),
        Round(x1+i*dx),Round(y1+j*dy));
end;

function CreatesPath(i,j: Integer): Boolean;
var
  Result: Boolean;
  Count: Integer;
  ii,jj: Integer;
begin
  Count:=0;
  if (i>1) and Matrix[i-1,j] then Inc(Count);
  if (i<m) and Matrix[i+1,j] then Inc(Count);
  if (j>1) and Matrix[i,j-1] then Inc(Count);
  if (j<m) and Matrix[i,j+1] then Inc(Count);
  if Count>1 then Result:=true else Result:=false;
  CreatesPath:=Result;
end;

function DeadEnd(i,j: Integer): Boolean;
var
  Result: Boolean;
  Count: Integer;
begin
  Count:=0;
  if (i=2) or CreatesPath(i-1,j) then Inc(Count);
  if (i=m-1) or CreatesPath(i+1,j) then Inc(Count);
  if (j=2) or CreatesPath(i,j-1) then Inc(Count);
  if (j=n-1) or CreatesPath(i,j+1) then Inc(Count);
  if Count=4 then Result:=true else Result:=false;
  DeadEnd:=Result;
end;

function CreateMaze: Boolean;
var
  i,j: Integer;
  di,dj: Integer;
  Result: Boolean;
begin
  Randomize;
  for i:=1 to n do
    for j:=1 to m do Matrix[i,j]:=false;
  Start:=Random(m-2)+2;
  i:=Start;
  j:=2;
  Matrix[Start,1]:=true;
  repeat
    Matrix[i,j]:=true;
    di:=0;
    dj:=0;
    while (di=0) and (dj=0) do begin
      di:=1-Random(3);
      if (i+di=1) or (i+di=m) then di:=0;
      if di=0 then dj:=1-Random(3);
      if j+dj=1 then dj:=0;
      if CreatesPath(i+di,j+dj) then begin
        di:=0;
        dj:=0;
      end;
    end;
    i:=i+di;
    j:=j+dj;
  until DeadEnd(i,j) or (j=n);
  Finish:=i;
  Matrix[Finish,n]:=true;
  if j<n then Result:=false else Result:=true;
  CreateMaze:=Result;
end;

begin
  m:=6;
  n:=6;

PrepareGraph;
  repeat
    ClearDevice;
    repeat until CreateMaze;
    DisplayMaze(120,40,520,440);
    repeat until KeyPressed;
  until ReadKey=#27;
  CloseGraph;
end.

Программа 2. Лабиринт.

{Лабиринт реализуется автоматически, без участия пользователя.
Алгоритм реализован на языке программирования  Turbo-Pascal }
uses graph,crt;
var
mpos,npos,m,n,delx,x,y,t,gd,gm,i,k:integer;

begin
randomize;
writeln('Input labyrint size (x and y)');
readln(m,n);
writeln('Input entrance&exit coordinates (mpos<m and npos<m)');
readln(mpos,npos);
initgraph(gd,gm,'c:\borland\tp\bgi');
for i:=1 to m do
begin
for k:=1 to n do
begin
rectangle(90+10*i,90+10*k,90+10*i+10,90+10*k+10);
end;
end;
setfillstyle(1,0);
setcolor(0);
line(100+(mpos-1)*10+1,100,100+(mpos-1)*10+9,100);
line(100+(npos-1)*10+1,100+n*10,100+(npos-1)*10+9,100+n*10);
y:=n;
x:=npos;
readln;

while y>1 do
begin
delx:=random(m)-x+1;
if y=2 then delx:=mpos-x;
i:=91+x*10;
 if i<90+(x+delx)*10 then
 begin
  while i<>90+(x+delx)*10 do
   begin
    i:=i+1;
    line(i,91+y*10,i,99+y*10);
   end;
 end;

if i>91+(x+delx)*10 then
 begin
  while i<>91+(x+delx)*10 do
   begin
    i:=i-1;
    line(i,91+y*10,i,99+y*10);
   end;
 end;

x:=x+delx;
line(91+10*x,90+y*10,99+10*x,90+y*10);

y:=y-1;

end;

readln;
end.
< Лекция 16 || Лекция 17: 12345