Алгоритмы рекуррентных соотношений
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами
Для решения рекуррентных соотношений общих правил, вообще говоря, нет. Однако существует весьма часто встречающийся класс соотношений, решаемый единообразным методом. Это - рекуррентные соотношения вида
( 8.3) |
Сначала рассмотрим, как решаются такие соотношения при , то есть изучим соотношение вида
( 8.4) |
- Если и являются решениями
рекуррентного соотношения (8.4), то при любых числах и
последовательность также является решением этого соотношения.
В самом деле, по условию, имеем
Умножим эти равенства на и соответственно и сложим полученные тождества. Получим, что
А это означает, что является решением соотношения(8.4). - Если является корнем квадратного уравнения то последовательность является решением рекуррентного соотношения В самом деле, если , то и . Подставляя эти значения в соотношение (8.4), получаем равенство Оно справедливо, так как по условию имеем . Заметим, что наряду с последовательностью любая последовательность вида также является решением соотношения (8.4). Для доказательства достаточно использовать утверждение (8.4), положив в нем .
Из утверждений 1 и 2 вытекает следующее правило решения линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пусть дано рекуррентное соотношение
( 8.5) |
( 8.6) |
Чтобы доказать это правило, заметим сначала, что по утверждению 2 являются решениями нашего соотношения. А тогда по утверждению 1 и является его решением. Надо только показать, что любое решение соотношения (8.5) можно записать в этом виде. Но любое решение соотношения второго порядка определяется значениями . Поэтому достаточно показать, что система уравнений
имеет решение при любых . Этими решениями являются (Случай, когда оба корня уравнения (8.6) совпадут друг с другом, разберем в следующем пункте.)Пример на доказанное правило.
При изучении чисел Фибоначчи мы пришли к рекуррентному соотношению
( 8.7) |
( 8.8) |
( 8.9) |