Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1892 / 92 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Специальности: Программист
Лекция 9:

Комбинаторика и ряды

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Аннотация: Введение. Деление многочленов. Алгебраические дроби и степенные ряды. Действия над степенными рядами.

Введение

Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в целом ряде случаев рекуррентные соотношения довольно трудно составить, а еще труднее решить. Зачастую эти трудности удается обойти, использовав производящие функции. Поскольку понятие производящей функции связано с бесконечными степенными рядами, познакомимся с этими рядами.

Деление многочленов

Если заданы два многочлена f(x) и \varphi (x), то всегда существуют многочлены q(x) ( частное ) и r(x) ( остаток ), такие, что f(x) = \varphi (x)q(x) + r(x), причем степень r(x) меньше степени \varphi (x) или r(x) = 0. При этом f(x) называется делимым, а \varphi (x) - делителем. Если же мы хотим, чтобы деление выполнялось без остатка, то придется допустить в качестве частного не только многочлены, но и бесконечные степенные ряды. Для получения частного надо расположить многочлены по возрастающим степеням x и делить "углом", начиная с младших членов. Рассмотрим, например, деление 1 на 1 - x

\arraycolsep=0pt
\begin{array}{rrrrl}
1 &&&&\multicolumn{1}{|l}{1-x}\\
\cline{5-5}
\mp1&{}\pm x &&&  \multicolumn{1}{|l}{1+x+x^2+\ldots}\\
\cline{1-4} & x \\
&{}\mp x &\pm x^2\\
\cline{2-3}
&& x^2\\
&& \mp x^2&\pm x^3\\
\cline{3-4}
&&& x^3\hbox to 0pt{\ldots\hss}
\end{array}
Ясно, что процесс деления никогда не закончится ( так же, например, как при обращении числа \frac{1}{3} в бесконечную десятичную дробь). С помощью индукции легко убедиться, что все коэффициенты частного равны единице. Поэтому в качестве частного получается бесконечный ряд 1 + x + x^2  + \ldots  + x^n  + \ldots. Вообще, если f(x) и \varphi (x) - два многочлена
f(x) = a_0  + \ldots  + a_n x^n,
\varphi (x) = b_0  + \ldots  + b_m x^m,
причем свободный член b_0 многочлена \varphi (x) отличен от нуля, b_0^{}  \ne 0, то при делении f(x) на \varphi (x) получается бесконечный ряд
c_0+c_1x+\ldots+c_kx^k+\ldots ( 9.1)

Лишь в случае, когда f(x) делится без остатка на \varphi (x), ряд (9.1) обрывается и мы получаем многочлен.

Алгебраические дроби и степенные ряды

При делении многочлена f(x) на многочлен \varphi
(x) мы получаем бесконечный степенной ряд. Возникает вопрос: как связан этот ряд с алгебраической дробью \frac{{f(x)}}
{{\varphi (x)}}, то есть какой смысл можно придать записи

\frac{{f(x)}}
{{\varphi (x)}} = c_0  + c_1 x + \ldots  + c_n x^n  + \ldots ( 9.2)
Рассмотрим, например, разложение
\frac{1}{{1 - x}} \cong 1 + x + x^2  + \ldots  + x^n  + \ldots ( 9.3)
Мы не пишем здесь знака равенства, так как не знаем, какой смысл имеет стоящая справа сумма бесконечного числа слагаемых. Чтобы выяснить это, попробуем подставлять в обе части соотношения (9.3) различные значения x. Сначала положим x = \frac{1}{{10}}. Тогда левая часть соотношения примет значение \frac{{10}}{9}, а правая превратится в бесконечный числовой ряд 1+0,1+0,01+...+0.000...01+... Так как мы не умеем складывать бесконечно много слагаемых, попробуем взять сначала одно слагаемое, потом - два, потом - три и так далее слагаемых. Мы получим такие суммы: 1;   1,1;   1,11; ...  ; 1,111...1; n. Ясно, что с возрастанием n эти суммы приближаются к значению \frac{{10}}
{9} = 1,11\ldots, которое приняла левая часть соотношения (9.3) при x = \frac{1}{{10}}.

То же самое получится, если вместо x подставить в обе части (9.3) число \frac{1}{2}. Левая часть равенства примет значение 2, а правая превратится в бесконечный числовой ряд 1 + \frac{1}
{2} + \frac{1}
{4} + \frac{1}
{8} + \ldots  + \frac{1}
{{2^n }} + \ldots Беря последовательно одно, два, три, четыре, слагаемых, мы получим числа 1; 1\frac{1}
{2} ; 1\frac{3}
{4} ; 1\frac{7}
{8},…, 2 - \frac{1}
{{2^n }}. Ясно, что с возрастанием n эти числа стремятся к числу 2.

Однако, если взять x = 4, то левая часть (9.3) примет значение - \frac{1}
{3}, а в правой получим ряд 1 + 4 + 4^2  + \ldots  + 4^n+… Если последовательно складывать члены этого ряда, то получаются суммы 1; 5; 21; 85; … Эти суммы неограниченно увеличиваются и не приближаются к числу - \frac{1}
{3}.

Мы встретились, таким образом, с двумя случаями. Чтобы их различать, введем общее понятие о сходимости и расходимости числового ряда. Пусть задан бесконечный числовой ряд

a_1  + a_2  + \ldots  + a_n  + \ldots ( 9.4)
Говорят, что бесконечный числовой ряд сходится к числу b, если разность b - (a_1  + a_2  + \ldots  + a_n ) стремится к нулю при неограниченном увеличении n. Иными словами, какое бы число \varepsilon  > 0 мы ни указали, отклонение суммы a_1  + \ldots  + a_n от b, начиная с некоторого номера N, окажется меньше \varepsilon:
\left| {b - (a_1  + \ldots  + a_n )} \right| < \varepsilon
\text{ если }n \geqslant N.
В этом случае число b называют суммой бесконечного ряда a_1
 + a_2  + \ldots  + a_n  + \ldots и пишут
b =a_1  + a_2  + \ldots  + a_n  + \ldots.
Если не существует числа b, к которому сходится данный ряд (9.4), то этот ряд называют расходящимся.

Проведенное выше исследование показывает, что

\frac{{10}}{9} = 1 + 0,1 + 0,01 + \ldots  + 0,00\ldots 01 + \ldots,
2 = 1 + \frac{1}
{2} + \frac{1}
{4} + \ldots  + \frac{1}
{{2^n }} + \ldots,
в то время как ряд 1 + 4 + 16 + \ldots  + 4^n  +... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если \left| x \right|
< 1, то ряд 1 + x + \ldots  + x^n  + \ldots сходится к \frac{1}{{1 - x}}, а если \left| x \right| > 1, то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что
1 + x + \ldots x^n  = \frac{{1 - x^{n + 1} }}{{1 - x}}
и что при n \to \infty выражение x^{n + 1} стремится к нулю, если \left| x \right| < 1, и к бесконечности, если \left| x \right| \geqslant 1. При x =  \pm 1 получаем расходящиеся числовые ряды 1 + 1 + \ldots  + 1 + \ldots и 1 - 1 + \ldots  + 1 - 1 + \ldots.Итак, если \left| x \right| < 1, то
\frac{1}
{{1 - x}} = 1 + x + \ldots  + x^n  + \ldots ( 9.5)

Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы выяснили, таким образом, смысл записи

\frac{1}
{{1 - x}} = 1 + x + \ldots  + x^n  + \ldots.
Она показывает, что для значений x, лежащих в некоторой области, а именно при \left| x \right| < 1, стоящий справа ряд сходится к \frac{1}
{{1 - x}}. Говорят, что функция \frac{1}
{{1 - x}} при \left| x \right| < 1 разлагается в степенной ряд 1 + x + \ldots  + x^n  + \ldots.Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.

Пусть при делении многочлена f(x) на многочлен \varphi
(x) получился степенной ряд

c_0  + c_1 x + \ldots  + c_n x^n  + \ldots ( 9.6)
Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях x ряд (9.6) сходится к f(x)/ \varphi (x). Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны x_1,\ldots,x_k и r - наименьшее из чисел \left| {x_1 } \right|,\ldots,\left| {x_k } \right|, то ряд сходится в области \left| x \right| < r.

Иными словами, всегда есть область \left| x \right| < r, в которой выполняется равенство

\frac{{f(x)}}
{{\varphi (x)}} = c_0  + c_1 x + \ldots  + c_n x^n  + \ldots ( 9.7)
В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции. В математическом анализе доказывают, например, что
\sin x = x - \frac{{x^3 }}{{3!}} + \frac{{x^5 }}{{5!}} - \ldots,
\cos x = 1 - \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^4 }}{{4!}} - \ldots,
e^x  = 1 + x + \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^3 }}{{3!}} + \ldots.
Отметим еще следующее важное утверждение: функция f(x) не может иметь двух различных разложений в степенные ряды.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >