Установочные и диагностические эксперименты со стационарными и нестационарными линейными автоматами
Синхронизирующие, установочные и диагностические эксперименты с нестационарными линейными автоматами
Конкретизируем определение 1.1 синхронизирующей последовательности применительно к нестационарному ЛА: последовательность является СП для НЛА
, если
![\forall s_1(0), \bar {s_2}(0) \in \Init(\tilde A)*A(t)A(t-1) \dots A(0)\bar {s_1}(0)+\\
+\sum_{i=0}^{t}A(t) \dots A(i+1)B(i) \bar u(i)=A(t)A(t-1)\dots A(0) \bar {s_2}(0)+\\
+\sum_{i=0}^tA(t)A(t-1)\dots A(i+1)B(i)\bar u(i)](/sites/default/files/tex_cache/63c65876daf5bdb5a107d3cef9c502db.png)
В этом определении означает множество допустимых начальных состояний ЛА.
Теорема 11.9. Для того чтобы входная последовательность была СП для НЛА
, необходимо и достаточно, чтобы
![]() |
( 11.10) |
Доказательство получается путем переноса в левую часть всех членов равенства в приведенном определении СП.
Следствие 1. Если , то необходимым и достаточным условием существования СП длины
для НЛА является выполнение равенства
![]() |
( 11.11) |
Доказательство. В силу произвольности начальных состояний и
разность
пробегает все множество состояний
, следовательно, (11.10) можно переписать так:
![\forall \bar s(0) \in S_n A(t)A(t-1) \dots A(0) \bar s(0)=[0]](/sites/default/files/tex_cache/ff1911713956864a210f02c61510a63f.png)
Понятно, что последнее справедливо тогда и только тогда, когда справедливо (11.11).
Следствие 2. Если и для НЛА существует хотя бы одна СП длины
, то для него синхронизирующей является любая входная последовательность длины
и более.
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что условие (11.11) не зависит от входной последовательности.
Исследуем теперь вопрос об оценке длины СП для НЛА.
Рассмотрим НЛА со следующими главными характеристическими матрицами:
![A(i)=E, i=\overline {1, t-1}, A(t)=0](/sites/default/files/tex_cache/460ca32f4a1ad0ab0faab3413e57133c.png)
Очевидно, что для этого НЛА, как это вытекает из (11.11), СП имеет длину и для него не существует СП меньшей длины. В силу произвольности параметра
отсюда следует, что в общем случае длина минимальной СП для НЛА не ограничена сверху. Напомним, что в отличие от НЛА для стационарных ЛА верхняя граница длины минимальных СП, как было показано выше, не превосходит величины
, где
- размерность ЛА.
Поскольку в общем случае задание НЛА требует перечисления бесконечных последовательностей характеристических матриц, что не всегда можно сделать конструктивно, рассмотрим специальный класс НЛА, описываемый конечными множествами таких матриц. НЛА этого класса назовем периодическими и потребуем, чтобы периодическими были все его характеристические матрицы. Последнее означает, что существует такая целая положительная константа , что
и т. д.
Перейдем теперь к исследованию условий существования СП периодических НЛА. Построим по периодической НЛА стационарный ЛА, обозначаемый как
, у которого функция переходов имеет вид
![\bar s(t+1)=A \hat s(t)](/sites/default/files/tex_cache/2b06b3c1a43f2b49c39e9c1aa764166e.png)
где
![\hat A=A(\lambda -1)A(\lambda -2)\dots A(0)](/sites/default/files/tex_cache/9b1904420edef6774617c5de55f6e9de.png)
Теорема 11.10. СП для периодической НЛА существует тогда и только тогда, когда она существует для стационарного ЛА
Доказательство.
Необходимость. Пусть для НЛА существует СП минимальной длины
где
. Тогда по следствию 1 из теоремы 11.9 должно выполняться равенство
![A(\lambda k+t)A(\lambda k+t-1)\dots A(\lambda )A(\lambda -1)\dots A(0)=[0]](/sites/default/files/tex_cache/68ef028a34240664475da34707d1e42e.png)
В силу периодичности матрицы последнее равенство эквивалентно равенству
![A(t)A(t-1)\dots A(0) \hat {A^k}=[0]](/sites/default/files/tex_cache/a84963860d08e6f839b327cbe53c17c6.png)
Отсюда вытекает, что но по теореме 1.1 это есть необходимое и достаточное условие существования СП для стационарного ЛА
Достаточность. Пусть для линейного автомата существует СП длины
тогда должно выполняться условие
Отсюда следует, что
![\lbrack \underbrace{A(\lambda -1) \dots A(0) \dots A(\lambda -1(A(0))}_{k+1 раз}\rbrack=\\
=A((k+1) \lambda -1) \dots A(k \lambda)A(k \lambda -1) \dots A((k-1) \lambda) \dots A(\lambda -1)\dots A(0)](/sites/default/files/tex_cache/087781cc735f5344e27175c78fdda931.png)
Тогда, в силу справедливости (1.28), для НЛА существует СП длина
Теорема 11.11. Если - период главной характеристической матрицы
НЛА
, то длина минимальной СП не превосходит величины
, где
- размерность НЛА.
Справедливость этой теоремы вытекает из того, что длина минимальной СП стационарного ЛА размерности , как было показано выше, не превосходит величины
.
Конкретизируем теперь определение 1.2 установочной последовательности применительно к нестационарному ЛА: последовательность является УП для НЛА
, если
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0) \in \Init (\tilde A) (\wedge_{k=0}^t \bar {y_1}(k)= \bar {y_2}(k)) \to ( \bar {s_1}(t+1)=\bar {s_2}(t+1))](/sites/default/files/tex_cache/8cb0ba54d2629eb05028eb27f150ee61.png)
где - символ конкатенации
равенств,
- выходная реакция и состояние автомата в момент времени , стартующего из состояния
Теорема 11.12. Для того чтобы входная последовательность являлась УП для НЛА
, необходимо и достаточно, чтобы
![]() |
( 11.12) |
Доказательство. Перепишем приведенное выше определение УП для НЛА в терминах характеристических матриц:
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0)< \in \Init (\tilde A) \\
( \wedge_{k=0}^t (C(k)A(k-1) \dots A(0) \bar {s_1}(0)+\\
+ \sum_{i=0}^{k-1}C(k)A(k-1) \dots A(i+1)B(i) \bar u(i)+D(k)\bar u(k)=\\
=C(k)A(k-1)\dots A(0)\bar {s_2}(0)+ \sum_{i=0}^{k-1}C(k)A(k-1) \dots A(i+1)B(i)\bar u(i)+D(k)\bar u(k))) \to\\
\to \bar {s_1}(t+1)= \bar {s_2}(t+1)](/sites/default/files/tex_cache/f8a3a3d1cb5b02b1e854f5d1c0789503.png)
Выполнив преобразования выражения, стоящего после квантора общности, получим
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0) \in \Init (\tilde A) \\
(\wedge_{k=0}^t(C(k)A(k-1) \dots A(0)\bar {s_1}(0)=C(k)A(k-1)\dots A(0) \bar {s_2}(0))) \to \\
\to (A(t) \dors A(0) \bar {s_1}(0)=A(t) \dots A(0) \bar {s_2}(0))](/sites/default/files/tex_cache/6e952734dd1e2132d1a7257d5a8f4b8c.png)
Учитывая, что и
, из последнего соотношения получим
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0) \in \Init (\tilde A)\\
\left ( \wedge_{k=0}^t C(k)A(k-1) \dots A(0)[\bar {s_1}(0)-\bar {s_2}(0)] =ne [0] \right ) \vee\\
\vee (A(t) \dots A(0)[\bar {s_1}(0)-\bar {s_2}(0)]=[0])](/sites/default/files/tex_cache/842811a053c76371c96530e2c7d53295.png)
Очевидно, что последний предикат эквивалентен предикату, приведенному в формулировке теоремы.
Заметим, что если , то разность
пробегает все множество состояний
рассматриваемого НЛА
и в этом случае условие (11.12) принимает следующий вид:
![]() |
( 11.13) |
Следствие. Если для НЛА существует хотя бы одна УП длины
, то для него установочной является любая входная последовательность длины
и более.
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что предикат (11.13) не зависит от входной последовательности.
Поскольку СП есть частный случай УП, то в общем случае длина минимальной УП для НЛА есть величина, не ограниченная сверху. Что касается периодического НЛА , то для оценки длины минимальной УП справедлив аналог теоремы 1.14, т. е. эта длина не превосходит величины
, где
- размерность НЛА,
- период матрицы
.
Обратимся теперь к исследованию условия существования для НЛА диагностической последовательности.
Определение ДП для НЛА можно представить так: последовательность является ДП для НЛА
, если
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0) \in \Init (\tilde A)\\
\left (\wedge_{k=0}^t y_1(t)=y_2(t) \to s_1(0)=s_2(0)\right )](/sites/default/files/tex_cache/92b498caf71fde1b5370d053a9fa74fd.png)
Используемые здесь обозначения совпадают с теми, что были приведены выше в определении УП.
По аналогии со стационарным ЛА введем в рассмотрение следующую матрицу, которую будем называть диагностической матрицей для НЛА:
![K_t=
\left [
\begin {matrix}
C(0)\\
C(1)A(0)\\
C(2)A(1)A(0)\\
……………….\\
C9t)A(t-1)A(t-2) \dots a(0)
\end {matrix}
\right ]](/sites/default/files/tex_cache/aeb0cb6c079706200ddadf812ea6db6c.png)
Теорема 11.13. Для того чтобы для НЛА размерности
, у которого
, входная последовательность
являлась ДП, необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство. В терминах характеристических матриц приведенное только что определение ДП запишется следующим образом:
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0) \in S_n\\
(\wedge_{k=0}^t(C(k)A(k-1)\dots A(0) \bar {s_1}(0)+\sum_{i=0}^{k-1}C(k)A(k-1) \dots A(i+1)B(i)\bar u(i)+D(k)=\\
=C(k)A(k-1)\dots A(0) \bar {s_2}(0)+\sum_{i=0}^{k-1}C(k)A(k-1) \dots A(i+1)B(i)\bar u(i)+D(k)\bar u(k))) \to \\
\to \bar {s_1}(0)=\bar {s_2}(0)](/sites/default/files/tex_cache/3577e7b78994f2ad02e4259c0cf8087d.png)
Выполнив простые преобразования и сокращения, в результате получим
![\forall \bar {s_1}(0),bsr {s_2}(0) \in S_n \\
\left (\wedge{k=0}^t \left ( C(k)A(k-1) \dots A(0) \bar {s_1}(0)= \wedge_{k=0}^t C(k)A(k-1) \dots A(0) \bar {s_2}(0) \right ) \right ) \to \bar {s_1}(0)= \bar {s_2}(0)](/sites/default/files/tex_cache/35f954fba9d7a0b3ec21588a8b2ab400.png)
Обозначив разность через
, последний предикат можно переписать в следующем виде:
![\forall \bar {s_1}(0), \bar {s_2}(0) in S_n](/sites/default/files/tex_cache/96f7dd2b3cdbe3f5e6cea8d0b233aea4.png)
или, что все равно,
![\forall \bar s(0) \in S_n\\
K_t \bar s(0)=[0]](/sites/default/files/tex_cache/fb8ca22f171565c4951d4d701ffdd615.png)
Последнее соотношение, стоящее под знаком квантора общности, можно трактовать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно координат вектора . Существование ДП для НЛА равносильно тому, что соответствующая система имеет единственное решение. Из алгебры известно, что необходимым и достаточным условием для этого является выполнение равенства
.
Следствие. Если для НЛА существует ДП длины , то для него диагностической является любая входная последовательность длины
и более.
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что условие теоремы 11.13 не зависит от входной последовательности.
Понятно, что всякая ДП для НЛА одновременно является и УП для этого автомата. Вместе с тем, в общем случае не всякая УП для НЛА одновременно является и ДП. По этой причине все сказанное выше о верхней границе длины минимальной УП в полной мере относится и к верхней границе ДП.
Подведем некоторые итоги исследования экспериментов как для стационарных, так и нестационарных автоматов.
Представленные в первых двух разделах лекции результаты свидетельствуют о том, что специфика линейных автоматов существенно упрощает построение теории экспериментов для них. Так, эта специфика дает возможность значительно понизить верхние оценки длин минимальных экспериментов всех типов по сравнению с соответствующими оценками, известными для автоматов (в общем случае нелинейных) Мили. Кроме того, эта специфика позволяет свести задачу построения рассмотренных экспериментов, в общем случае весьма сложную и трудоемкую, к значительно более простой задаче установления факта существования таких экспериментов. Решение же последней задачи требует лишь вычисления произведения некоторых характеристических матриц, либо степеней матриц и их рангов. Иными словами, условия существования экспериментов исследованных нами типов для линейных автоматов достаточно легко проверяются. Отметим еще одно важное обстоятельство: идентификация финальных и начальных состояний после проведения соответствующих типов экспериментов в случае линейных автоматов сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, для чего имеется хорошо разработанный математический аппарат.
Вопросы и упражнения
- Сформулируйте критерии существования установочной последовательности для линейного стационарного автомата.
- При каких ограничениях на характеристическую матрицу С линейного стационарного автомата все входные последовательности некоторой фиксированной длины являются для него установочными?
- Какова верхняя оценка длины минимальной установочной последовательности для стационарного линейного автомата?
- Сформулируйте критерии существования диагностической последовательности для линейного стационарного автомата.
- Какова верхняя оценка длины минимальной диагностической последовательности для стационарного линейного автомата?
- Является ли условие минимальности стационарного ЛА достаточным для существования у него диагностической последовательности?
- Приведите доказательство того, что для стационарного ЛА с помощью простого безусловного эксперимента разрешима любая диагностическая задача.
- Дайте определение периодического линейного нестационарного автомата.
- Сформулируйте критерии существования синхронизирующей, установочной и диагностической последовательностей для периодического линейного нестационарного автомата.