Статистика интервальных данных

12.5. Интервальный дискриминантный анализ

Перейдем к задачам классификации в статистике интервальных данных. Как известно [ [ 12.38 ] ], важная их часть - задачи дискриминации (диагностики, распознавания образов с учителем). В этих задачах заданы классы (полностью или частично, с помощью обучающих выборок), и необходимо принять решение - к какому этих классов отнести вновь поступающий объект.

В линейном дискриминантном анализе правило принятия решений основано на линейной функции от распознаваемого вектора . Рассмотрим для простоты случай двух классов. Правило принятия решений определяется константой - при распознаваемый объект относится к первому классу, при - ко второму.

В первоначальной вероятностной модели Р.Фишера предполагается, что классы заданы обучающими выборками объемов и соответственно из многомерных нормальных распределений с разными математическими ожиданиями, но одинаковыми ковариационными матрицами. В соответствии с леммой Неймана-Пирсона, дающей правило принятия решений при поверке статистических гипотез, дискриминантная функция является линейной. Для ее практического использования теоретические характеристики распределения необходимо заменить на выборочные. Тогда дискриминантная функция приобретает следующий вид

Здесь - выборочное среднее арифметическое по первой выборке а - выборочное среднее арифметическое по второй выборке . В роли может выступать любая состоятельная оценка общей для выборок ковариационной матрицы. Обычно используют следующую оценку, естественным образом сконструированную на основе выборочных ковариационных матриц:

В соответствии с подходом статистики интервальных данных считаем, что специалисту по анализу данных известны лишь значения с погрешностями

Таким образом, вместо статистик делает выводы на основе искаженной линейной дискриминантной функции , в которой коэффициенты рассчитаны не по исходным данным , а по искаженным погрешностями значениям .

Это - модель с искаженными параметрами дискриминантной функции. Следующая модель - такая, в которой распознаваемый вектор также известен с ошибкой. Далее, константа может появляться в модели различными способами: задаваться априори абсолютно точно; задаваться с какой-то ошибкой, не связанной с ошибками, вызванными конечностью обучающих выборок; рассчитываться по обучающим выборкам, например, с целью уравнять ошибки классификации, т.е. провести плоскость дискриминации через середину отрезка, соединяющего центры классов. Итак - целый спектр моделей ошибок.

На какие статистические процедуры влияют ошибки в исходных данных? Здесь тоже много постановок. Можно изучать влияние погрешностей измерений на значения дискриминантной функции , например, в той точке, куда попадает вновь поступающий объект . Очевидно, случайная величина имеет некоторое распределение, определяемое распределениями обучающих выборок. Выше описана модель Р.Фишера с нормально распределенными совокупностями. Однако реальные данные, как правило, не подчиняются нормальному распределению [ [ 12.38 ] ]. Тем не менее линейный статистический анализ имеет смысл и для распределений, не являющихся нормальными (при этом вместо свойств многомерного нормального распределения приходится опираться на многомерную Центральную предельную теорему и теорему о наследовании сходимости [ [ 1.15 ] ]). В частности, приравняв метрологическую ошибку, вызванную погрешностями исходных данных, и статистическую ошибку, получим условие, определяющее рациональность объемов выборок. Здесь два объема выборок, а не один, как в большинстве рассмотренных постановок статистики интервальных данных. С подобным мы сталкивались ранее при рассмотрении двухвыборочного критерия Смирнова.

Естественно изучать влияние погрешностей исходных данных не при конкретном , а для правила принятия решений в целом. Может представлять интерес изучение характеристик этого правила по всем или по какой-либо области возможных значений . Более интересно рассмотреть показатель качества классификации, связанный с пересчетом на модель линейного дискриминантного анализа [ [ 12.38 ] ].

Математический аппарат изучения перечисленных моделей развит выше в предыдущих пунктах настоящей главы. Некоторые результаты приведены в [ [ 2.18 ] ]. Из-за большого объема выкладок ограничимся приведенными здесь замечаниями.