НОУ ИНТУИТ | Прикладная статистика. Лекция 4: Теоретическая база прикладной статистики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.11.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 3994 / 952 | Оценка: 4.66 / 4.45 | Длительность: 54:13:00

Темы: Математика, Экономика

Специальности: Экономист

|

Вам нравится? Нравится 61 студенту

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

4.6. Нечеткие множества как проекции случайных множеств

Нечеткость и случайность. С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы (см. "Различные виды статистических данных" ) началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие состоит только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений неcчетно) всегда равна 1, а сумма значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на (при $S\ne 0$ ), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного" сведения, поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств и . Как при этом преобразуются функции принадлежности $A\cap B,A|cup B,A+B,AB$ ? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними. Причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, (например, для пересечений множеств), также различны.

В работах по нечетким множествам время от времени утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей (см., например, обзор литературы в монографиях [ , ]). Некоторые авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: "Арифметика применима тогда, когда она применима" (см. его монографию [ , с.21-22]).

При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы R^2 - см., например, монографию [ [ 4.8 ] ]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.

Можно понять желание энтузиастов теории нечеткости подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи этого подхода с ранее известными.

Проекция случайного множества. Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1975 г. в работе [ [ 4.15 ] ] было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. Рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение 1. Пусть $A=A(\omega)$ - случайное подмножество конечного множества . Нечеткое множество , определенное на , называется проекцией и обозначается Proj A , если

$\mu_B(y)=P(y\in A)$

( 1)

при всех $y\in Y$ .

Очевидно, каждому случайному множеству можно поставить в соответствие с помощью формулы (1) нечеткое множество B = Proj A . Оказывается, верно и обратное.

Теорема 1. Для любого нечеткого подмножества конечного множества существует случайное подмножество множества такое, что B = Proj A .

Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества . Пусть Y_1 - носитель (см. определение 1 в п.1.4). Без ограничения общности можно считать, что $Y_1=\{y_1,y_2,...,y_m\}$ при некотором и элементы Y_1 занумерованы в таком порядке, что

$0<\mu_B(y_1)\le\mu_B(y_2)\le ...\le\mu_B(y_m)$

Введем множества

$Y(1)=Y_1,Y(2)=\{y_2,...,y_m\},...,Y(t)=\{y_t,...,y_m\},...,Y(m)=\{y_m\}.$

Положим

$\begin{gathered} P(A=Y(1))=\mu_B(y_1),P(A=Y(2))=\mu_B(y_2)-\mu_B(y_1),..., \\ P(A=Y(t))=\mu_B(y_t)-\mu_B(y_{t-1}),...,P(A=Y(m))=\mu_B(y_m)=\mu_B(y_{m-1}), \\ P(A=\varnothing)=1-\mu_B(y_m). \end{gathered}$

Для всех остальных подмножеств множества положим P(A=X)=0 . Поскольку элемент y_t входит во множества Y(1), Y(2),..., Y(t) и не входит во множества Y(t+1),...,Y(m) , то из приведенных выше формул следует, что $P(y_t\in A)=\mu_B(y_t)$ . Если $y\notin Y_1$ , то, очевидно, $P(y\in A)=0$ Теорема 1 доказана.

Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений главы 8 монографии [ [ 2.15 ] ], полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.

Теорема 2. Для случайного подмножества множества из конечного числа элементов наборы чисел $P(A=X),X\subseteq Y$ , и $P(X\subseteq A),X\subseteq Y$ , выражаются один через другой.

Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:

$P(X\subseteq A)=\sum_{X':X\subseteq X'}P(A=X')$

Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой

$P(A=X)=P(X\subseteq A)-\sum P(X\bigcup\{y\}\subseteq A)+ \sum P(X\bigcup\{y_1,y_2\}\subseteq A)-...\pm P(Y\subseteq A).$

В этой формуле в первой сумме у пробегает все элементы множества $Y\X$ , во второй сумме переменные суммирования y_1 и y_2 не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 2.

В соответствии с теоремой 2 случайное множество можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел $P(X\subseteq A),X\subseteq Y$ . В этом наборе $P(\varnothing\subseteq A)=1$ , а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа $P(\{y\}\subseteq A)=P(y\in A)$ , следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации k = Card(Y) параметров из (2^k-1) параметров, задающих распределение случайного множества в общем случае.

При доказательстве основных результатов будет использоваться следующая теорема.

Теорема 3. Если Proj A = B , то $Proj \overline{A}=\overline{B}$ .

Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств $P(\overline{A}=X)=P(A=\overline{X})$ , формулой для вероятности накрытия $P(y\in A)$ , определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех P(A=X) равна 1. При этом под формулой для вероятности накрытия имеется в виду следующее утверждение: чтобы найти вероятность накрытия фиксированного элемента случайным подмножеством конечного множества , достаточно вычислить

$P(q\in S)=P(\{\omega:q\in S(\omega)\})= \sum_{A:q\in A,A\subseteq 2^Q}P(S=A,)$

где суммирование идет по всем подмножествам

множества

, содержащим

.

Пересечения и произведения нечетких и случайных множеств. Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1 в п.1.4) и теоремы 3 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.

Теорема 4. Если случайные подмножества A_1 и A_2 конечного множества независимы, то нечеткое множество $Proj (A_1\cap A_2)$ является произведением нечетких множеств Proj A_1 и Proj A_2 .

Доказательство. Надо показать, что для любого $y\in Y$

$P(y\in A_1\cap A_2)=P(y\in A_1)P(y\in A_2)$

( 2)

По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством (см. выше)

$P(y\in A_1\cap A_2)=\sum_{X:y\in X}P((A_1\cap A_2)=X).$

( 3)

Легко проверить, что распределение пересечения случайных множеств $A_1\cap A_2$ можно выразить через их совместное распределение следующим образом:

$P(A_1\cap A_2=X)=\sum_{X_1,X_2:X_1\cap X_2=X}P(A_1=X_1,A_2=X_2).$

( 4)

Из соотношений (3) и (4) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы

$P(y\in A_1\cap A_2)=\sum_{X:y\in X}\sum_{X_1,X_2:X_1\cap X_2=X}P(A_1=X_1,A_2=X_2)$

( 5)

Заметим теперь, что правую часть формулы (5) можно переписать следующим образом:

$\sum_{X_1,X_2:y\in X_1,y\in X_2}P(A_1=X_1,A_2=X_2)$

( 6)

Действительно, формула (5) отличается от формулы (6) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования $X_1\cap X_2$ принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (5) и (6) вытекает равенство

$P(y\in A_1\cap A_2)= \left( \sum_{X_1:y\in X_1}P(A_1=X_1) \right) \left( \sum_{X_2:y\in X_2}P(A_2=X_2) \right).$

Для завершения доказательства теоремы 4 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством.

Определение 2. Носителем случайного множества называется совокупность всех тех элементов $y\in Y$ , для которых $P(y\in C)>0$ .

Теорема 5. Равенство

$Proj(A_1\cap A_2)=(Proj A_1)\cap(Proj A_2)$

верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств $\overline{A_1}\cap A_2$ и $A_1\cap\overline{A_2}$ пусто.

Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых

$P(y\in A_1\cap A_2)=\min(P(y\in A_1),P(y\in A_2))$

( 7)

Положим

$p_1=P(y\in A_1\cap A_2),p_2=P(y\in\overline{A_1}\cap A_2), p_3=P(y\in A_1\cap\overline{A_2}).$

Тогда равенство (7) сводится к условию

$p_1=\min(p_1+p_2,p_1+p_3)$

( 8)

Ясно, что соотношение (8) выполнено тогда и только тогда, когда р_2р_3 = 0 при всех $y\in Y$ , т.е. не существует ни одного элемента $y_0\in Y$ такого, что одновременно $P(y_0\in\overline{A_1}\cap A_2)>0$ и $P(y_0\in A_1\cap\overline{A_2}>0)$ , а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств $\overline{A_1}\cap A_2$ и $A_1\cap\overline{A_2}$ . Теорема 5 доказана.

Дальше >>

Авторизоваться

Прикладная статистика

Теоретическая база прикладной статистики

4.6. Нечеткие множества как проекции случайных множеств

Вопросы и ответы