Классические и квантовые коды
Код Шора [40].
Опишем серию кодов со сколь угодно большим кодовым расстоянием. Они используют кодовых q-битов и кодируют один q-бит (т.е. ), а кодовое расстояние равно .
Поскольку количество кодовых q-битов — точный квадрат, удобно задавать базисные состояния в таком кодовом пространстве в виде матрицы. В этих обозначениях код Шора порождается векторами
( 14.11) |
Для анализа кода Шора нам потребуется классификация операторов с помощью матриц Паули. Их, вообще говоря, три, но четвертой матрицей Паули будем считать единичную. Введем нестандартную индексацию матриц Паули:
Матрицы Паули замечательны тем, что они эрмитовы и унитарные одновременно. Введенная индексация позволяет удобно записывать коммутационные соотношения между матрицами Паули
( 14.12) |
Матрицы Паули образуют базис пространства :
Для пространства будет уже базисных операторов. Введем обозначение Здесь .Используя коммутационные соотношения, можно написать, с точностью до общего фазового множителя, , где называется классической ошибкой, а — фазовой ошибкой.
Теперь проанализируем код Шора. В силу линейности определения достаточно ограничиться изучением базисных ошибок. Пусть , и . Поскольку ( — число ненулевых переменных в ), то .
Достаточно показать, что в этом случае
( 14.13) |
Рассмотрим два случая.
- Классическая ошибка отлична от 0. В этом случае каждое базисное состояние изменяется под действием в некоторых битах, . Поэтому в скалярных произведениях (14.13) все слагаемые будут равны 0.
-
. Ошибка чисто фазовая: , где . Обозначим . Тогда (см.(14.11))
Нас интересуют значения по модулю 2. Возможны 3 случая:- .
- .
- .
Случай 2 в действительности реализоваться не может, так как . В случае 3 все скалярные произведения обращаются в нуль, . В случае 1 , т.е. действует на кодовом подпространстве тождественным образом. (Такая ошибка, по существу, не является ошибкой, поскольку ничего не портит). Следовательно, .
Итак, код Шора обнаруживает ошибку; кодовое расстояние равно~ .
Замечание. Код Шора основан на дуальности между классическими и фазовыми ошибками, которая выражается равенством . Внутри каждой строки реализован обычный повторительный код, исправляющий классические ошибки. Строки организованы в аналогичный код, отличающийся заменой базиса в каждом q-бите: . Этот код исправляет фазовые ошибки.