НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 14: Классические и квантовые коды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 10 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Основные определения и простейшие следствия.

Следующее определение дает в квантовом случае формальное выражение требования "различные состояния переходят в различные состояния" (это необходимое условие возможности восстановления исходных состояний физически реализуемым преобразованием).

Определение 14.6. Квантовый код (подпространство $\calM\subseteq\calN$ ) исправляет ошибки из $\calE\subseteq\LL(\calN,\calN')$ , если

$\begin{equation}\label{ортворт1} \forall\, \ket{\xi_1},\ket{\xi_2}\in\calM\space\forall\, X,Y\in\calE\: \left(\langle \xi_2|\xi_1\rangle =0\right) \Rightarrow \left(\langle \xi_2|Y^\dagger X|\xi_1\rangle=0 \right). \end{equation}$

( 14.8)

Определение 14.7. Физически реализуемое преобразование

$P\colon\LL(\calN')\to\LL(\calM)$

называется исправляющим (для кода $\calM$ и пространства ошибок $\calE$ ), если

$\forall\,T\in \calE\cdot\calE^\dagger\: \exists\, c=c(T)\: \forall\,\rho\in\LL(\calM)\: \bigl(PT\rho=c(T)\rho\bigr).$

Если при этом

сохраняет след, то c(T)=1

.

Теорема 14.2. Если код $\calM$ исправляет ошибки из $\calE$ , то исправляющее преобразование существует.

Доказательство будет дано ниже. Обратное утверждение доказано в [4].

Пример 14.4. Тривиальный код типа (n,m) : пусть $\calM= \BB^{\otimes m}\double\otimes\ket{0^{n-m}}$ , а $\calE=\calE[m+1,\dots,n]$ , т.е. для кодирования используются первые q-битов, а ошибки действуют на остальные q-биты. Условие (14.8), очевидно, выполнено. В качестве исправляющего преобразования можно взять $P=I_{\LL(\BB^{\otimes m})}\otimes R$ , где $R\colon X\mapsto(Tr X)\ket{0^{n-m}}\bra{0^{n-m}}$ . Преобразование реализуется очень просто: выбрасываем последние n-m q-битов и заменяем их на новые q-биты в состоянии $\ket{0}$ . Практической пользы от такого кода, конечно, мало. Интересно, однако, что любой квантовый код, исправляющий ошибки, в определенном смысле похож на тривиальный (см. лемму 14.3 ниже).

Пример 14.5. Рассмотрим квантовый аналог кода с повторением. Пусть пространство $\calM=\CC(\ket{0,\dots,0},\ket{1,\dots,1})$ . Рассмотрим два состояния $\ket{\xi_1}=\ket{0,\dots,0}+\ket{1,\dots,1}$ и $\ket{\xi_2}=\ket{0,\dots,0}-\ket{1,\dots,1}$ . Ошибку выберем так: $X=\id$ , $Y=\sz[1]$ . Очевидно, что $X,Y\in\calE(n,1)$ . При этом $Y\ket{\xi_2}=X\ket{\xi_1}$ , что противоречит определению кода, исправляющего ошибки. Мы видим, что код с произвольно большим повторением не защищает даже от одной ошибки.

Ошибки вида $\sx[1]$ называются классическими, а ошибки вида $\sz[1]$ называются фазовыми.

В определении 14.6 речь шла только о парах ортогональных состояний. Давайте посмотрим, что получается на произвольных парах. Зафиксируем $X,Y\in\calE$ и обозначим $Z=Y^\dagger X$ . Оказывается, что

$\begin{equation}\label{код-сохр-скаляр-произв} \forall\, \ket{\xi_1},\ket{\xi_2}\in\calM \: \langle \xi_2|Z|\xi_1\rangle =c(Z) \langle \xi_2|\xi_1\rangle, \end{equation}$

( 14.9)

где

— некоторое комплексное число, не зависящее от $\ket{\xi_1},\ket{\xi_2}$ . Действительно, пусть $\ket{\eta_1},\dots, \ket{\eta_m}$ — ортонормированный базис пространства $\calM$ . По определению 14.6 $\langle \eta_j|Z|\eta_k\rangle =0$ при $j\ne k$ , а $\langle\eta_j|Z|\eta_j\rangle$ не зависит от

, так как

$\langle\eta_j|Z|\eta_j\rangle - \langle\eta_k|Z|\eta_k\rangle = \langle\eta_j-\eta_k|Z|\eta_j+\eta_k\rangle + \langle\eta_k|Z|\eta_j\rangle - \langle\eta_j|Z|\eta_k\rangle =0.$

(Все три слагаемых в правой части равенства равны нулю, так как входящие в них пары векторов ортогональны.)

Заметим, что если $X,Y\in\calE(n,k)$ , то $Z= Y^\dagger X\in\calE(n,2k)$ .

Определение 14.8. Код $\calM$ обнаруживает ошибки из $\calE'\subseteq\LL(\calN)$ , если

$\forall\,\ket{\xi_1},\ket{\xi_2}\in\calM\: \forall\, Z\in\calE'\: \langle \xi_2|Z|\xi_1\rangle = c(Z)\langle \xi_2|\xi_1\rangle.$

Кодовым расстоянием называется наименьшее число $d=d(\calM)$ , при котором код не обнаруживает ошибки из $\calE(n,d)$ .

Таким образом, код исправляет ошибок, если $2k<d(\calM)$ .

Теперь мы перейдем к доказательству теоремы 14.2.

Лемма 14.3. Пусть квантовый код $\calM\subseteq\calN$ исправляет ошибки из $\calE\subseteq\LL(\calN,\calN')$ . Тогда существует унитарное пространство $\calF$ , изометрическое вложение $V\colon\calM\otimes\calF\to\calN'$ и линейное отображение $f\colon\calE\double\to\calF$ , такие что

$\begin{equation}\label{встроенная-ошибка} \forall\,\ket{\xi} \in\calM\:\forall\,X\in\calE\: X\ket{\xi}=V\bigl(\ket{\xi}\otimes\ket{f(X)}\bigr). \end{equation}$

( 14.10)

Доказательство. Пусть $\calE_0=\{X\in\calE: \forall\,\ket{\xi}\in\calM\ X\ket{\xi}=0\}$ . Рассмотрим фактор-пространство $\calF=\calE/\calE_0$ и естественное отображение $f\colon\calE\to\calF$ . Линейное отображение $V\colon\calM\otimes\calF\to\calN'$ , удовлетворяющее условию (14.10), строится каноническим образом; нужно лишь проверить его изометричность.

Скалярное произведение на пространстве $\calF$ можно задать при помощи функции из свойства кода (14.9): если $\ket{\eta_1}=\ket{f(X)}$ и $\ket{\eta_2}=\ket{f(Y)}$ , то $\langle\eta_2|\eta_1\rangle=c(Y^\dagger X)$ . Очевидно, что эта величина не зависит от выбора и . Ясно также, что $\langle\eta|\eta\rangle>0$ , если $\ket{\eta}\not=0$ . Формула (14.9) как раз и означает, что отображение является изометрическим.

Доказательство (теоремы 14.2). Представим пространство $\calN'$ как сумму взаимно ортогональных подпространств: $\calN'=(\Im V)\oplus\calK$ , где — отображение из предыдущей леммы. Пусть $W\colon\calK\to\calN'$ — каноническое вложение, а $R\colon\LL(\calK)\to\LL(\calM)$ — произвольное физически реализуемое преобразование. Тогда мы можем определить

$P\colon\rho\mapsto\, Tr_\calF(V^\dagger\rho V) +R(W^\dagger\rho W),\qquad c\colon X\cdot Y^\dagger\mapsto\, \langle f(Y)|f(X)\rangle.$

(Функция

линейно продолжается на все пространство $\calE\cdot\calE^\dagger$ ).

Лемму 14.3 и доказательство теоремы 14.2 можно неформально изложить таким образом. Код, исправляющий ошибки, характеризуется тем, что ошибка не смешивается с закодированной информацией, т.е. остается в виде отдельного тензорного сомножителя. Исправляющее преобразование извлекает эту "встроенную ошибку" и выбрасывает ее в мусорную корзину.

Задача 14.3. Пусть код $\calM\subseteq\BB^{\otimes n}$ обнаруживает ошибки из $\calE(A)$ . Докажите, что состояние $\rho\in\LL(\calM)$ можно восстановить, не используя q-битов из множества .

Дальше >>

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Классические и квантовые коды

Основные определения и простейшие следствия.

Вопросы и ответы