Классические и квантовые коды
Модель независимых ошибок в квантовом случае.
Предположим, что на каждый q-бит действует одно и то же малое возмущение. Это означает, что на матрицу плотности рассматриваемой системы из q-битов действует преобразование , где — "мало". В классическом случае малое возмущение означает малую вероятность ошибки. В квантовом случае малое возмущение меняет матрицы плотности "не слишком сильно". Чтобы придать этому выражению точный смысл, нужно ввести норму на матрицах плотности, характеризующую их близость, а затем — такую норму на преобразованиях матриц плотности, чтобы выполнялось условие: малое по норме преобразование переводит матрицу плотности в близкую к ней.
Начнем с того, что выясним, какие нормы пригодны для характеризации близости матриц плотности. Матрица плотности, как мы помним из "Квантовые вероятности" , задает вероятностное распределение на чистых состояниях. Вероятностные распределения естественно сравнивать в -норме: если , — два распределения, то мерой их различия считаем . Дадим определение аналогичной нормы для матриц плотности.
Определение 14.4. Следовая норма оператора равна
( 14.3) |
Для эрмитова оператора следовая норма — это сумма модулей собственных чисел.
Задача 14.1. Проверьте, что (14.3) действительно определяет норму. Докажите, что
( 14.4) |
Задача 14.2. Проверьте выполнение следующих свойств следовой нормы:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Следующая лемма показывает, почему можно рассматривать следовую норму для матриц плотности как аналог -нормы для вероятностных распределений.
Лемма 14.2. Пусть — разложение пространства в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств. Тогда для любой пары матриц плотности ,
Доказательство. Левую часть этого неравенства можно представить в виде , где . Ясно, что . Теперь применим представление следовой нормы в виде (14.4).
Теперь кажется естественным определить норму преобразования матриц плотности аналогично операторной норме
( 14.5) |
( 14.6) |
Пример 14.3. Рассмотрим преобразование
Очевидно, что , однако . (Подействуйте преобразованием на оператор .)Оказывается (ниже это будет доказано), что патология примера 14.3 имеет ограничение по размерности. А именно, если , то , где величина от не зависит. Прежде чем доказывать это утверждение, посмотрим на его следствия.
Во-первых, ясно, что определенная таким образом величина является нормой.
Во-вторых, поскольку следовая норма мультипликативна относительно тензорного умножения, то . Поэтому .
В-третьих, из определения следует, что , поэтому имеем такие неравенства
( 14.7) |
Чтобы доказать приведенное выше свойство норм , дадим другое определение величины .
Определение 14.5. Рассмотрим представления в виде . Здесь обозначает преобразование , а , где — произвольное унитарное пространство размерности не меньшей, чем . Тогда — точная нижняя грань чисел вида (это операторные нормы) по всем представлениям указанного вида.
Замечание. Условие гарантирует, что существует хотя бы одно представление . Для минимизации произведения достаточно рассматривать операторы с нормами и , поэтому инфимум достигается в силу компактности. То, что он не зависит от размерности , вытекает из следующей теоремы.
Теорема 14.1. Если , то .
Доказательство. Пусть . Тогда, используя свойства следовой нормы из задачи 14.2, получаем
Поэтому .
Доказать неравенство в обратную сторону несколько сложнее. Без уменьшения общности, . Инфимум в определении 14.5 достигается при .
Покажем сначала, что существуют три матрицы плотности и , такие что . Пусть
где обозначает множество матриц плотности на пространстве . Тогда , поэтому в качестве годится любой элемент из .Докажем, что . Так как и — компактные выпуклые множества, достаточно доказать, что не существует разделяющей их гиперплоскости. Другими словами, нет такого эрмитова оператора , что для любых , . А это, в свою очередь, следует из минимальности величины по отношению к преобразованию
где положительно, но мало.Итак, пусть , где . Представим и в виде , , где — единичные векторы. Здесь мы используем условие и утверждение 9.1. Положим . Очевидно, что .
Докажем, что . Обозначим
тогда Отсюда, во-первых, следует, что векторы и имеют единичную длину. Во-вторых, найдется унитарный оператор на пространстве , такой что (это утверждение из задачи 9.3). Следовательно,Теперь можно оценить остаточный член в формуле (14.6), почти дословно повторяя рассуждения в классическом случае. Если , то , где — константа (все нормы эквивалентны, причем множитель ограничен размерностью пространства; действует на пространстве матриц плотности одного q-бита). Используя мультипликативность нормы , заключаем, что
Поэтому будем пренебрегать всеми слагаемыми из , а действие всех остальных слагаемых будем учитывать. Преобразования имеют вид , где ; символически это можно записать так: . Сумма преобразований лежит в . Таким образом, мы приходим к выводу, что нужно рассматривать ошибки из .