Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1679 / 168 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 12:

Ординалы

< Лекция 11 || Лекция 12: 12 || Лекция 13 >

Арифметика ординалов

Мы определили сумму и произведение линейно упорядоченных множеств в "лекции 7" . (Напомним, что в A\hm+B элементы A предшествуют элементам B, а в A\hm\times B мы сначала сравниваем B - компоненты пар, а в случае их равенства- A - компоненты.)

Легко проверить следующие свойства сложения:

  • Сложение ассоциативно: \alpha\hm+(\beta\hm+\gamma)\hm=(\alpha\hm+\beta)\hm+\gamma.
  • Сложение не коммутативно: например, 1\hm+\omega\hm=\omega, но \omega\hm+1\hm\ne\omega.
  • Очевидно, \alpha\hm+0\hm=0\hm+\alpha\hm=\alpha.
  • Сумма возрастает при росте второго аргумента: если \beta_1\hm<\beta_2, то \alpha\hm+\beta_1\hm<\alpha\hm+\beta_2. (В самом деле, пусть \beta_1 изоморфно начальному отрезку в \beta_2, отличному от всего \beta_2. Добавим к этому изоморфизму тождественное отображение на \alpha и получим изоморфизм между \alpha\hm+\beta_1 и начальным отрезком в \alpha\hm+\beta_2, отличным от \alpha\hm+\beta_2.)
  • Сумма неубывает при росте первого аргумента: если \alpha_1\hm<\alpha_2, то \alpha_1\hm+\beta \hm\le
\alpha_2\hm+\beta. (В самом деле, \alpha_1\hm+\beta изоморфно подмножеству в \alpha_2\hm+\beta. Это подмножество не является начальным отрезком, но мы можем воспользоваться теоремой 37.)
  • Определение суммы согласовано с обозначением \alpha\hm+1 для следующего за \alpha ординала. (Здесь 1 - порядковый тип одноэлементного множества.) Следующим за \alpha\hm+1 ординалом будет ординал (\alpha\hm+1)\hm+1\hm=\alpha\hm+(1\hm+1)\hm=\alpha\hm+2 и т.д.
  • Если \alpha\hm\ge\beta, то существует единственный ординал \gamma, для которого \beta\hm+\gamma\hm=\alpha. (В самом деле, \beta изоморфно начальному отрезку в \alpha ; оставшаяся часть \alpha и будет искомым ординалом \gamma. Единственность следует из монотонности сложения по второму аргументу.) Заметим, что эту операцию можно называть " вычитание слева".
  • " Вычитание справа", напротив, возможно не всегда. Пусть \alpha - некоторый ординал. Тогда уравнение \beta\hm+1\hm=\alpha (относительно \beta ) имеет решение тогда и только тогда, когда \alpha - непредельный ординал, (т.е. когда \alpha имеет наибольший элемент).

Определение суммы двух ординалов в силу ассоциативности можно распространить на любое конечное число ординалов. Можно определить и сумму \alpha_1\hm+\alpha_2\hm+\ldots счетной последовательности ординалов (элементы \alpha_i предшествуют элементам \alpha_j при i\hm<j ; внутри каждого \alpha_i порядок прежний). Как легко проверить, это множество действительно будет вполне упорядоченным: чтобы найти минимальный элемент в его подмножестве, рассмотрим компоненты, которые это подмножество задевает, выберем из них компоненту с наименьшим номером и воспользуемся ее полной упорядоченностью.

В этом построении можно заменить натуральные числа на элементы произвольного вполне упорядоченного множества I и определить сумму \sum A_i семейства вполне упорядоченных множеств A_i, индексированного элементами I, как порядковый тип множества всех пар вида \langle a,i\rangle, для которых a\in A_i. При сравнении пар сравниваются вторые компоненты, а в случае равенства и первые (в соответствующем A_i ). Если все A_i изоморфны одному и тому же множеству A, получаем уже известное нам определение произведения A\hm\times I.

Теперь перейдем к умножению ординалов.

  • Умножение ассоциативно: (\alpha\beta)\gamma\hm=
\alpha(\beta\gamma). (В самом деле, в обоих случаях по существу получается множество троек; тройки сравниваются справа налево, пока не обнаружится различие.)
  • Умножение не коммутативно: например, 2\hm\cdot\omega\hm=\omega, в то время как \omega\hm\cdot 2\hm\ne\omega.
  • Очевидно, \alpha\hm\cdot0\hm=0\hm\cdot\alpha=0 и \alpha\cdot1\hm=1\cdot\alpha\hm=\alpha.
  • Выполняется одно из свойств дистрибутивности: \alpha(\beta\hm+\gamma)\hm=\alpha\beta\hm+\alpha\gamma (непосредственно следует из определения). Симметричное свойство выполнено не всегда: (1\hm+1)\hm\cdot\omega\hm=\omega\hm\ne\omega+\omega.
  • Произведение строго возрастает при увеличении второго множителя, если первый не равен 0. (Для разнообразия выведем это из ранее доказанных свойств: если \beta_2\hm>\beta_1, то \beta_2\hm=\beta_1\hm+\delta, так что \alpha\beta_2\hm=\alpha(\beta_1\hm+\delta)
\hm=\alpha\beta_1 \hm+\alpha\delta
\hm>\alpha\beta_1.)
  • Произведение не убывает при возрастании первого множителя. (В самом деле, если \alpha_1\hm<alpha_2, то \alpha_1\beta изоморфно подмножеству \alpha_2\beta. Это подмножество не является начальным отрезком, но можно сослаться на теорему 37.)
  • Любой ординал, меньший \alpha\beta, однозначно представим в виде \alpha\beta'\hm+\alpha', где \beta'\hm<\beta и \alpha'\hm<\alpha.

    (В самом деле, пусть множества A и B упорядочены по типам \alpha и \beta. Тогда A\hm\times B упорядочено по типу \alpha\beta. Всякий ординал, меньший \alpha\beta, есть начальный отрезок в A\hm\times B, ограниченный некоторым элементом \langle a,b\rangle. Начальный отрезок [0,\langle a,b\rangle) состоит из пар, у которых второй член меньше b, а также из пар, у которых второй член равен b, а первый меньше a. Отсюда следует, что этот начальный отрезок изоморфен A\hm\times[0,b)\hm+[0,a), так что остается положить \beta'\hm=[0,b) и \alpha'\hm=[0,a). Теперь проверим однозначность. Пусть \alpha\beta'\hm+\alpha'\hm=\alpha\beta''\hm+\alpha''. Если \beta'=\beta'', то можно воспользоваться однозначностью левого вычитания и получить, что \alpha'=\alpha''. Остается проверить, что \beta' не может быть, скажем, меньше \beta''. В этом случае \beta''\hm=\beta'+\delta, и сокращая \alpha\beta' слева, получим, что \alpha'\hm=\alpha\delta+\alpha'', что невозможно, так как левая часть меньше \alpha, а правая часть больше или равна \alpha.)

  • Аналогичное " деление с остатком" возможно и для любых ординалов. Пусть \alpha\hm>0. Тогда любой ординал \gamma можно разделить с остатком на \alpha, то есть представить в виде \alpha\tau\hm+\rho, где \rho\hm<\alpha, и притом единственным образом.

    (В самом деле, существование следует из предыдущего утверждения, надо только взять достаточно большое \beta, чтобы \alpha\beta было больше \gamma, скажем, \beta\hm=\gamma\hm+1. Единственность доказывается так же, как и в предыдущем пункте.)

  • Повторяя деление с остатком на \alpha>0, можно построить позиционную систему счисления для ординалов: всякий ординал, меньший \alpha^{k+1} (здесь k - натуральное число), однозначно представим в виде \alpha^k\beta_k\hm+\alpha^{k-1}\beta_{k-1}\hm+
\ldots\hm+\alpha\beta_1\hm+\beta_0, где \beta_k, \dots, \beta_1, \beta_0 - ординалы, меньшие \alpha.

127. Для каких ординалов 1\hm+\alpha\hm=\alpha?

128. Для каких ординалов 2\hm\cdot\alpha\hm=\alpha?

129. Какие ординалы представимы в виде \omega\hm\cdot\alpha?

130. Докажите, что {\alpha+\beta}\hm=\beta тогда и только тогда, когда {\alpha\omega}\hm\le\beta (здесь \alpha и \beta - ординалы).

131. Докажите, что если {\alpha+\beta}\hm={\beta+\alpha} для некоторых ординалов \alpha и \beta, то найдется такой ординал \gamma и такие натуральные числа m и n, что \alpha\hm={\gamma m} и \beta\hm={\gamma n}.

132. Определим операцию "замены основания" с k\hm>1 на l\hm>k. Чтобы применить эту операцию к натуральному числу n, надо записать n в k - ичной системе счисления, а затем прочесть эту запись в l - ичной системе. (Очевидно, число при этом возрастет, если оно было больше или равно k.) Возьмем произвольное число n и будет выполнять над ним такие операции: замена основания с 2 на 3 - вычитание единицы - замена основания с 3 на 4 - вычитание единицы - замена основания с 4 на 5 - вычитание единицы - ... Докажите, что рано или поздно мы получим нуль и вычесть единицу не удастся. (Указание: замените все основания на ординал \omega ; получится убывающая последовательность ординалов.)

< Лекция 11 || Лекция 12: 12 || Лекция 13 >