НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 5: Функции

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1691 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Иногда вместо функций говорят об отображениях (резервируя термин " функция" для отображений с числовыми аргументами и значениями). Мы не будем строго придерживаться таких различий, употребляя слова " отображение" и " функция" как синонимы.

Функция $f\colon A\hm\to B$ называется инъективной, или инъекцией, или вложением, если она переводит разные элементы в разные, то есть если $f(a_1)\hm\neq f(a_2)$ при различных a_1 и a_2 .

Функция $f\colon A\hm\to B$ называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если множество ее значений есть все . (Иногда такие функции называют отображениями на .)

Эти два определения более симметричны, чем может показаться на первый взгляд, как показывают такие задачи:

61. Докажите, что функция $f\colon A\hm\to B$ является вложением тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную функцию $g\colon B\hm\to A$ , то есть функцию , для которой $g\hm\circ f \hm= \id_A$ . Докажите, что функция $f\colon A\hm\to B$ является наложением тогда и только тогда, когда она имеет правую обратную функцию $g\colon B\hm\to A$ , для которой $f\hm\circ g \hm= \id_B$ .

62. Докажите, что функция $f\colon A\hm\to B$ является вложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать слева: из равенства $f\hm\circ g_1 \hm= f\hm\circ g_2$ следует равенство $g_1 \hm= g_2$ (для любых функций g_1 , g_2 , области значений которых содержатся в ). Докажите, что функция $f\colon A\hm\to B$ является наложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать справа: из равенства $g_1 \hm\circ f \hm= g_2 \hm\circ f$ следует равенство $g_1 \hm= g_2$ (для любых функций g_1 , g_2 , область определения которых есть ).

Отображение (функция) $f\colon A\hm\to B$ , которое одновременно является инъекцией и сюръекцией (вложением и наложением), называется биекцией, или взаимно однозначным соответствием.

Если - биекция, то существует обратная функция $f^{-1}$ , для которой ${f^{-1}(y)=x}\hm\Leftrightarrow{f(x)=y}$ .

63. Могут ли для некоторой функции левая и правая обратные существовать, но быть различны?

Напомним, что множества и равномощны, если существует биекция $f\colon A\hm\to B$ . В каком случае существует инъекция (вложение) $f\colon A\hm\to B$ ? Легко понять, что вложение является взаимно однозначным соответствием между и некоторым подмножеством множества , поэтому такое вложение существует тогда и только тогда, когда в есть подмножество, равномощное , - когда мощность не превосходит мощности (в смысле определения, данного в "лекцию 3" ).

Чуть менее очевиден другой результат: наложение на существует тогда и только тогда, когда мощность не превосходит мощности .

В самом деле, пусть наложение $f\colon A\hm\to B$ существует. Для каждого элемента $b\hm\in B$ найдется хотя бы один элемент $a\hm\in A$ , для которого $f(a)\hm=b$ . Выбрав по одному такому элементу, мы получим подмножество $A'\hm\subset A$ , которое находится во взаимно однозначном соответствии с множеством . (Здесь снова используется аксиома выбора, о которой мы говорили ранее)

В обратную сторону: если какое- то подмножество множества равномощно множеству и имеется биекция $g\colon A'\hm\to B$ , то наложение на можно получить, доопределив эту биекцию на элементах вне каким угодно образом.

64. Найдите ошибку в этом рассуждении, не читая дальше.

На самом деле такое продолжение возможно, только если непусто, так что правильное утверждение звучит так: наложение на существует тогда и только тогда, когда непусто и равномощно некоторому подмножеству , или когда оба множества пусты.

В нашем изложении остается еще один не вполне понятный момент: что такое " упорядоченная пара "? Неформально говоря, это способ из двух объектов и образовать один объект $\langle x,y\rangle$ , причем этот способ обладает таким свойством:

$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle \ \Leftrightarrow \ \text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}$

В принципе, можно так и считать понятие упорядоченной пары неопределяемым, а это свойство - аксиомой. Однако при формальном построении теории множеств удобно использовать трюк, придуманный польским математиком Куратовским, и избежать появления отдельного понятия упорядоченной пары. (Напомним, что $\{x\}$ обозначает множество, единственным элементом которого является

, а $\{x,y\}$ обозначает множество, которое содержит

и

и не содержит других элементов. Тем самым ${\{x,y\}} \hm= {\{x\}} \hm= {\{y\}}$ , если $x\hm=y$ .)

Теорема 9. Упорядоченная пара по Куратовскому. Определим $\langle x,y\rangle$ как ${\{\{x\},\{x,y\}\}}$ . Тогда выполнено указанное выше свойство:

$\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle \ \Leftrightarrow \ \text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}.$

Доказательство. Пусть $\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle$ . По определению это означает, что

${\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}}= {\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}}$

. Теперь нужно аккуратно разобрать случаи (не путая при этом

с $\{x\}$ ). Это удобно делать в следующем порядке. Пусть сначала $x_1\hm\neq y_1$ . Тогда множество ${\{x_1,y_1\}}$ состоит из двух элементов. Раз оно принадлежит левой части равенства, то принадлежит и правой. Значит, оно равно либо $\{x_2\}$ , либо ${\{x_2,y_2\}}$ . Первое невозможно, так как двухэлементное множество не может быть равно одноэлементному. Значит, ${\{x_1,y_1\}}\hm= {\{x_2,y_2\}}$ . С другой стороны, одноэлементное множество $\{x_1\}$ принадлежит левой части равенства, поэтому оно принадлежит и правой, и потому равно $\{x_2\}$ (поскольку не может быть равно двухэлементному). Отсюда $x_1\hm=x_2$ и $y_1\hm=y_2$ , что и требовалось.

Аналогично можно разобрать симметричный случай, когда $x_2\hm\neq y_2$ .

Осталось рассмотреть ситуацию, когда $x_1\hm=y_1$ и $x_2\hm=y_2$ . В этом случае ${\{x_1,y_1\}}\hm=\{x_1\}$ и потому левая часть данного нам равенства есть $\{\{x_1\}\}$ . Аналогичным образом, правая его часть есть $\{\{x_2\}\}$ , и потому x_1=x_2 , так что все четыре элемента x_1 , x_2 , y_1 , y_2 совпадают.

Заметим, что возможны и другие определения упорядоченной пары, для которых аналогичное утверждение верно, так что никакого " философского смысла" в этом определении нет - это просто удобный технический прием.

65. Докажите утверждение теоремы 9 для упорядоченной пары по Винеру: $\langle x,y\rangle\hm= \{\{\varnothing,\{x\}\},\{\{y\}\}\}$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию множеств

Функции

Вопросы и ответы