Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1681 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Множества

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >

Число элементов

Число элементов в конечном множестве A называют также его мощностью и обозначают |A| (а также \#A ). (Вскоре мы будем говорить о мощностях и для бесконечных множеств.) Следующая формула позволяет найти мощность объединения нескольких множеств, если известны мощности каждого из них, а также мощности всех пересечений.

Теорема 1. Формула включений и исключений.

|A\cup B|         =|A|+|B|-|A\cap B|;\\
    |A\cup B \cup C|  =|A|+|B|+|C|-\\
                     &{}-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+\\
                     &{}+|A\cap B\cap C|;
вообще |A_1\cup\ldots\cup A_n| равно
\sum_{i}|A_i| - \sum_{i<j}|A_i \cap A_j| +
      \sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ldots

Доказательство. Это утверждение несложно доказать индукцией по n, но мы приведем другое доказательство. Фиксируем произвольное множество U, подмножествами которого являются множества A_1, \dots, A_n.

Характеристической функцией множества X\hm\subset U называют функцию \chi_X, которая равна 1 на элементах X и 0 на остальных элементах U. Операции над подмножествами множества U соответствуют операциям с их характеристическими функциями. В частности, пересечению множеств соответствует произведение характеристических функций: \chi_{A\cap B}(u)\hm=\chi_{A}(u)\chi_{B}(u). Дополнению (до U) соответствует функция 1-\chi, если \chi - характеристическая функция исходного множества.

Число элементов множества можно записать как сумму значений его характеристической функции:

|X|=\sum_{u} \chi_{X}(u).
Объединение A_1\cup\ldots\cup A_N можно записать как дополнение к пересечению дополнений множеств A_i ; в терминах характеристических функций имеем
\chi_{A_1\cup\ldots\cup A_n}=
1 - (1-\chi_{A_1})\ldots (1-\chi_{A_n}).
Раскрыв скобки в правой части, мы получим
\sum_{i}\chi_{A_i}-\sum_{i<j}\chi_{A_i}\chi_{A_j}+
\sum_{i<j<k}\chi_{A_i}\chi_{A_j}\chi_{A_k}-\ldots
и просуммировав левую и правую часть по всем элементам U (обе они есть функции на U ), получим формулу включений и исключений.

15. Докажите, что |A_1\bigtriangleup\ldots\bigtriangleup A_n| равно

$$
      \sum_{i}|A_i| - 2\sum_{i<j}|A_i \cap A_j| +
      4\sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ldots
        $$

Подсчет количеств элементов в конечных множествах относят к комбинаторике. Некоторые начальные сведения из комбинаторики приведены дальше в качестве задач. Сейчас нас в первую очередь интересует следующий принцип:

если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то в них одинаковое число элементов.

(Взаимная однозначность требует, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал ровно один элемент второго и наоборот.)

Вот несколько примеров использования этого принципа.

16. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна черная. Чего больше - треугольников с вершинами в белых точках или четырехугольников, у которых одна вершина черная, а остальные три белые? (Решение: их поровну, поскольку каждому четырехугольнику соответствует треугольник, образованный тремя его белыми вершинами.)

17. Каких подмножеств больше у 100 - элементного множества: мощности 57 или мощности 43? (Указание: 57\hm+43\hm=100.)

18. Докажите, что последовательностей длины n, составленных из нулей и единиц, столько же, сколько подмножеств у множества \{1,2,\dots,n\}. (Указание: каждому подмножеству X\hm\subset\{1,2,\dots,n\} соответствует " характеристическая последовательность", на i - м месте которой стоит единица, если и только если i\hm\in X.)

19. Докажите, что последовательностей нулей и единиц длины n, в которых число единиц равно k, равно числу k - элементных подмножеств n - элементного множества.

Это число называется числом сочетаний из n по k и обозначается C_n^k в русских книжках; в иностранных обычно используется обозначение \binom{n}{k}.

20. Докажите, что C_n^k\hm=C_n^{n-k}.

21. Докажите, что C_n^0\hm+C_n^1\hm+\ldots\hm+C_n^n\hm=2^n.

22. Пусть U - непустое конечное множество. Докажите, что подмножеств множества U, имеющих четную мощность, столько же, сколько имеющих нечетную мощность. (Указание: фиксируем элемент u\hm\in U и объединим в пары подмножества, отличающиеся только в точке u.

23. Докажите, что C_n^0\hm-C_n^1\hm+C_n^2\hm-\ldots\hm+(-1)^nC_n^n\hm=0. (Указание: как это связано с предыдущей задачей?)

24. Докажите формулу бинома Ньютона:

(a+b)^n= C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b +
    \ldots+C_n^k a^{n-k}b^{k}+\ldots+C_n^n b^n.

25. Докажите, что способов расстановки скобок (указывающих порядок действий) в неассоциативном произведении из n элементов столько же, сколько способов разбить выпуклый (n+1) - угольник на треугольники непересекающимися диагоналями. (Для произведения трех множителей есть два варианта (ab)c и a(bc) ; с другой стороны, есть два способа разрезать четырехугольник на два треугольника, проведя диагональ. Для произведения четырех сомножителей и для пятиугольника имеется по 5 вариантов.)

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >