Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3232 / 574 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 10:

Комбинаторика и числовые системы

Аннотация: Решение типовых задач комбинаторики (вычисление факториала, перестановки, подстановки, размещения, сочетания) и теории чисел, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Докажите методом математической индукции формулу суммы членов арифметической прогрессии. Указание: формула – S_n=\cfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n.
  2. Записать для общего случая и с помощью знаков суммы и произведения неравенства:

    \begin{array}{c}x_1\le \cfrac {x_1}{1},\\ x_1x_2\le\cfrac{x_1+x_2}{2},\\ x_1x_2x_3\le\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\\\dots \end{array}

    Указание: найти индуктивно формулу

    x_1x_2\dots x_n \le \cfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.

  3. Вычислите наиболее эффективно дробь (7!)/(5!). Указание: представить числитель через знаменатель.
  4. Решить рекуррентное уравнение:

    \begin{array}{l}x_n=\cfrac{1+x_{n-1}}{x_{n-2}}, \, n>1\\x_0 =a,\, x_1=b. \end{array}

    Указание: найти х3, затем х4 и получить соответствующую формулу для xn.

  5. Найдите формулу общего члена последовательности, удовлетворяющего рекуррентному соотношению:

    {c}x_1=0, x_2=2,\\ x_{n+2}=4x_{n+1}–x_n,  n=1,2,\dots

    Указание: найти х2, затем х3 и т.д.

  6. Имеется аудиторская фирма из 10 сотрудников. Сколько можно сформировать различных аудиторских групп фирмы по 5 человек? Сколько можно сформировать аудиторских групп численностью от 1 до 10 человек? Какие группы еще можно формировать и как находить их количество? Указание: использовать формулы для перестановок, подстановок и сочетаний.
  7. Вычислить по биному Ньютона 1,15. Как можно использовать формулу бинома Ньютона для приближенных вычислений? Указание: представить 1,1 как 1+0,1 и затем разложить по формуле бинома Ньютона.
  8. Вычислить наиболее эффективно суммы:

    • \sum\limits_{k=1}^n{\cfrac{2k+1}{k(k+1)}} ;
    • \sum\limits_{k=1}^n {\cfrac{(-1)^kk}{(4k^2-1)}} ;
    • \sum\limits_{k=0}^n {\cfrac{1}{k+1}}.

    Указание: а) представить 2k+1=k+k+1 и затем осуществить почленное деление; б) сгруппировать попарно все последовательные слагаемые и рассмотреть отдельно эти разности; в) сгруппировать.

  9. Вычислите числа Ферма и Мерсенна при n=4. Указание: выписать таблицу этих чисел и проанализировать.
  10. Постройте треугольник Паскаля при n=12. Указание: выписать числа, отражающие эту "треугольную таблицу".

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  1. "Простая" и математическая индукция.
  2. Рекурсия, ее приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  3. Комбинаторика, ее различные приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  4. Теоремы суммирования и перемножения.
  5. Роль формул сокращения записей в математике и приложениях. Примеры.
  6. Мировоззренческая роль математики древних и средних веков.
  7. Красота математических формул. Примеры.
  8. Бином Ньютона, его приложения. Примеры.
  9. Цифровые системы. Примеры.
  10. Арифметика (алгебра чисел).
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс