Предельный переход и непрерывность
Задачи
- Покажите, по определению предела последовательности, что
, где
, т.е.
Указание: оценить сверху модуль
.
-
-
,
-
,
-
.
Указание:
- разделить числитель и знаменатель на х ;
- разделить числитель и знаменатель на х4 ;
- разделить числитель и знаменатель на х3.
-
-
Какие функции являются бесконечно малыми, а какие – бесконечно большими при x->x0 :
-
;
-
;
-
?
-
-
-
;
-
;
-
.
Указание: а) умножить и разделить дробь на 3, а затем использовать первый замечательный предел ; б) представить тангенс через синус и косинус; в) использовать формулу
и затем формулу синуса двойного угла.
-
-
-
;
-
;
-
-
Показать, что функция
имеет разрыв при x=2. Есть ли еще у этой функции разрыв? Указание: оценить отдельно пределы для x<2 и для x>2 при x
2.
-
В какой точке имеет разрыв функция
Указание: исследовать значения х, для которых f(x) стремится к бесконечности.
-
Исследовать на непрерывность в области R функцию вида:
-
;
-
;
-
.
Указание: исследовать значения – 1. x=–1 ; x=2 ; 2. x=2 ; 3. х=0.
-
-
Выяснить, имеет ли разрыв функция вида (и, если имеет, то в какой точке):
-
;
-
;
-
.
Указание: исследовать значения – 1. x=0 ; 2. x= –1 ; 3. х= – 2.
-
-
Оценить по теореме Вейерштрасса максимальное и минимальное значения функции
Указание: проверить непрерывность f(x) (применимость теоремы).
Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)
- Пределы, их приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
- Замечательные пределы и их приложения в науке, практике. Примеры.
- Предельный переход как философская категория.
- Бесконечно большие и малые, их социально-гуманитарные приложения.
- Философы древности о дискретности и непрерывности, их взаимоотношениях.
- Непрерывное и дискретное – единство и борьба противоположностей.
- Разрывы функции, их классификация и особенности. Примеры.
- Методы "обхода" разрывов при анализе функциональных зависимостей.
- Приложения (применения) теоремы Вейерштрасса. Примеры.
- Типы неопределенностей и правила их раскрытия. Правила Лопиталя. Примеры.