Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3227 / 659 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик

Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Аннотация: Дается понятие жесткой системы (ЖС ОДУ). Рассматриваются неявные методы Рунге - Кутты и Гира для решения ЖС ОДУ. Исследуется устойчивость методов.

9.1. Явление жесткости. Предварительные сведения

Рассмотрим в качестве примера две задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [9.1], [9.2]:

$  \dot {u} = au + \frac{1}{\varepsilon } v, 
\dot {v} = - \frac{1}{\varepsilon } v,    $

с начальными данными u(0) = u0, v(0) = v0 ; здесь a \sim  O(1), \varepsilon  \ll 1 ; и линейную систему с постоянными коэффициентами

\begin{gather*}
\dot {u} = 998u + 1998v, \\   
\dot {v} = - 999u - 1999v, \\   
u(0) = v(0) = 1.
\end{gather*}

Решением первой задачи Коши являются функции

\begin{gather*}
u(t) = u_0 e^{at} + \frac{{v_0 }}{{1 + a\varepsilon }} (e^{at} - e^{- t/\varepsilon }), \\   
v(t) = v_0 e^{- t/\varepsilon }, 
 \end{gather*}

а второй -

u(t) = 4e- t - 3e- 1000t,
v(t) = - 2e- t + 3e- 1000t.

В обоих случаях решение состоит из двух экспонент: быстро убывающей и относительно медленно изменяющейся. Отметим, что абсолютные величины собственных значений матриц рассматриваемых линейных систем ОДУ при их представлении в виде

$ \dot {u} = Au, $

( uвектор - столбец, Aматрица с постоянными коэффициентами) существенно различаются. Так, в первом случае \lambda _{1} \approx  (4\varepsilon )^{- 1}, \lambda _{2} \sim  O(1) ; во втором: \lambda _{1}  \approx  - 1, \lambda _{2} = 10^{- 3}. В обоих случаях имеем:

$  \frac{{|\lambda_1 |}}{{|\lambda_2 |}} \gg 1.   $

При моделировании физических процессов причина такой разницы в собственных числах заключена в существенно различных характерных временах процессов, описываемых системами ОДУ. Наиболее часто подобные системы встречаются при моделировании процессов в ядерных реакторах, при решении задач радиофизики, астрофизики, физики плазмы, биофизики, химической кинетики. Последние задачи часто могут быть записаны в виде [9.3]:

$  \frac{d u_k}{d t} = \sum\limits_{i = 1}^{N}{\sum\limits_{j = 1}^{N}{a_{_{ij}}^{k} u_i u_j}, } k = 1  \div  N;   $

где uk — концентрации веществ, участвующих в химических реакциях, скорости протекания которых характеризуются коэффициентами a_{ij}^{k}. В качестве примера приведем одну из систем химической кинетики, описывающую изменение концентрации трех веществ, участвующих в реакции для случая полного перемешивания [9.1].

Пример 1. Обозначим концентрации трех веществ, участвующих в реакции, через u1, u2 и u3, тогда

\begin{gather*}
\dot u_1 = - 4 \cdot 10^{- 2} u_1 + 10^4 u_2 u_3, \\  
\dot u_2 = 10^{- 2} u_1 - 10^4 u_2 u_3 - 3 \cdot 10^7 u_2^2, \\  
\dot u_3 = 3 \cdot 10^7 u_2^2, \\  
u_1 (0) = 1, u_2 (0) = u_3 (0) = 0.
\end{gather*}

Участки решения, характеризующиеся быстрым и медленным его изменением, называются пограничным слоем и квазистационарным режимом, соответственно.

Трудности численного решения подобных систем ОДУ, получивших название жестких (определение жесткой системы приведено ниже), связаны с выбором шага интегрирования. Дело в том, что характерные времена исследуемых процессов могут различаться более чем в 1012 раз. Следовательно, если при численном решении системы

$ \dot {u} = {F}(u) $

выбирать шаг из условия

\tau\|f^{\prime}_u (u)\|\ll 1,

то он будет соответствовать самому быстрому процессу. В данном случае затраты машинного времени для исследования самых медленных процессов будут неоправданно велики. По этой причине имеются следующие альтернативы в выборе подхода к численному решению рассматриваемых задач.

  1. Численно решать систему ОДУ с шагом

    {\tau}\ll \|f^{\prime}_u  (u)\|^{- 1},

    т.е. с учетом характерных времен всех процессов, описываемых данной системой.

  2. Решать систему ОДУ с различными шагами, соответствующими физическим процессам с существенно различными характерными временами. В этом случае необходимо задавать условия перехода к другому шагу интегрирования.
  3. "Пренебречь" быстропротекающими процессами и численно рассматривать лишь медленные, проводя интегрирование с шагом, превышающим характерные времена быстрых процессов. В этом случае придется конструировать численные методы, позволяющие проводить расчеты с шагом

    {\tau}\gg \|f^{\prime}_u (u)\|^{- 1}.

Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003