НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский физико-технический институт

Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3792 / 1087 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00

ISBN: 978-5-9556-0065-9

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 53 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Устойчивость методов численного интегрирования жестких систем ОДУ обычно исследуется на примере скалярного уравнения

$\dot {u} = \lambda u, u(0) = u_0.$

( 9.4)

Положим, что численный метод, применяемый к решению этого уравнения, может быть записан в виде

$u_{n + 1} = R(z)u_{n}, \ z = \tau \lambda ,$

где R(z) называется функцией устойчивости [9.1], [9.4]. О построении функции устойчивости речь пойдет ниже.

Определение. Численный метод для решения уравнения (9.4) является абсолютно устойчивым, если выполнено условие

$|R(z)| \le 1.$

Из определения следует, что $|{u_{n + 1}}| \le |u_n|.$

Это требование является естественным при ${\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} z \le 0,$ поскольку в таком случае модуль точного решения есть невозрастающая функция.

Множество всех точек z, для которых $|R(z)| \le 1,$ называется областью абсолютной устойчивости.

Рис. 9.1.

Рис. 9.2a.

Рис. 9.2b.

Рис. 9.3.

Определение. Если область абсолютной устойчивости $(|R(z)| \le 1)$ занимает левую полуплоскость комплексной плоскости $({Re} z \le 0),$ то метод является А - устойчивым (заштрихованная область на рис. 9.1).

В случае, когда область абсолютной устойчивости включает в себя угол (в левой полуплоскости комплексной плоскости) с вершиной в нуле и углом полураствора $\alpha,$ то метод называется $А(\alpha)$ - устойчивым.

Области $A(\alpha)$ - и A(0) - устойчивости изображены на рис. 9.2а и 9.2b, соответственно.

В случае, когда вся область абсолютной устойчивости включает в себя часть левой полуплоскости (граница ее лежит вне заштрихованной части на рис. 9.3), то метод называется жестко - устойчивым. Область жесткой устойчивости имеет вид, представленный, например, на рис. 9.3.

Определение. Численный метод называется L - устойчивым, если он А - устойчив и если

$|R(z)| \to 0, \quad \mbox{при }{\mathop{\mathrm{Re}\ }\nolimits} {\tau}\lambda \to - \infty.$

В частности, рассмотренный выше неявный метод Эйлера является L - устойчивым. Решения, полученные такими методами, будут затухающими.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в вычислительную математику

Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Вопросы и ответы