Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3226 / 659 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Специальности: Программист, Математик

Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Устойчивость методов численного интегрирования жестких систем ОДУ обычно исследуется на примере скалярного уравнения

\dot {u} = \lambda u, u(0) = u_0. ( 9.4)

Положим, что численный метод, применяемый к решению этого уравнения, может быть записан в виде

u_{n + 1} = R(z)u_{n}, \ z = \tau \lambda ,

где R(z) называется функцией устойчивости [9.1], [9.4]. О построении функции устойчивости речь пойдет ниже.

Определение. Численный метод для решения уравнения (9.4) является абсолютно устойчивым, если выполнено условие

|R(z)|  \le 1.

Из определения следует, что |{u_{n + 1}}|  \le  |u_n|.

Это требование является естественным при {\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} 
 z \le 0, поскольку в таком случае модуль точного решения есть невозрастающая функция.

Множество всех точек z, для которых |R(z)|  \le 1, называется областью абсолютной устойчивости.


Рис. 9.1.

Рис. 9.2a.

Рис. 9.2b.

Рис. 9.3.

Определение. Если область абсолютной устойчивости (|R(z)| \le 
1) занимает левую полуплоскость комплексной плоскости ({Re} z \le 
0), то метод является А - устойчивым (заштрихованная область на рис. 9.1).

В случае, когда область абсолютной устойчивости включает в себя угол (в левой полуплоскости комплексной плоскости) с вершиной в нуле и углом полураствора \alpha, то метод называется А(\alpha) - устойчивым.

Области A(\alpha) - и A(0) - устойчивости изображены на рис. 9.2а и 9.2b, соответственно.

В случае, когда вся область абсолютной устойчивости включает в себя часть левой полуплоскости (граница ее лежит вне заштрихованной части на рис. 9.3), то метод называется жестко - устойчивым. Область жесткой устойчивости имеет вид, представленный, например, на рис. 9.3.

Определение. Численный метод называется L - устойчивым, если он А - устойчив и если

|R(z)|  \to 0, \quad \mbox{при }{\mathop{\mathrm{Re}\ }\nolimits}  {\tau}\lambda 
\to - \infty.

В частности, рассмотренный выше неявный метод Эйлера является L - устойчивым. Решения, полученные такими методами, будут затухающими.

Евгений Бурцев
Евгений Бурцев
Россия
Максим Виноградов
Максим Виноградов
Россия, Москва