Введение в вычислительную математику
[+]
Московский физико-технический институт
Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3914 / 1195 | Оценка: 4.50 / 4.33 | Длительность: 24:00:00
ISBN: 978-5-9556-0065-9
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, алгоритмы, арифметика, вычисления, дифференциальные уравнения, курсы, линейная алгебра, матрица Якоби, метод трапеций, метод Эйлера, норма вектора, поиск, программирование, разделенные разности, разложение в ряд, системы нелинейных уравнений, спектральные задачи, таблицы бутчера, численное решение уравнений, элементы
Лекция 8:

Численное интегрирование
A
|
версия для печати
< Лекция 7 || Лекция 8: 12345678 || Лекция 9 >

7.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Предложить алгоритмы вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций:

    $ \int\limits_0^1 {\frac{\sin 100x}{1 + x}dx}, \int\limits_1^2\cos 100 x\ln xdx} $

    (формулы Филона. Подробнее о них в [7.3]).

  2. Предложить алгоритм вычисления интегралов:

    \begin{gather*} \int\limits_0^{1, 5}{\frac{e^{x}}{x^2 }dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\arctg x}{x^2 }dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\sqrt{x^3 + 1}}{\sqrt {x}}dx}, \\ \int\limits_0^1 {\frac{\cos x - 1}{x^2 }dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx}, \int\limits_0^1 {\frac{x\sin x}{\ln (1 + x)}dx}, \\ \int\limits_1^\infty {\frac{1 - \cos x}{x\sqrt {x}}dx, }\int\limits_1^0 {\frac{\sin x}{x}dx}, \int\limits_0^1 {\frac{\ln (1 + x)}{x}dx} . \end{gather*}

  3. Доказать, что формула Симпсона точна, если подынтегральная функция есть произвольный многочлен третьей степени.
  4. Определить число \pi по формуле

    $ \pi = \int\limits_0^1 {\frac{4}{1 + x^2 }dx, } $

    используя формулы прямоугольников с центральной точкой, трапеций, Симпсона.

  5. Оценить число разбиений отрезка для вычисления интеграла

    \int\limits_0^1 {\sin x^2 dx}

    по формуле прямоугольников с центральной точкой для достижения точности \varepsilon = 10^{ - 4}. Тот же вопрос для подсчета интеграла

    \int\limits_0^1 {\exp (x^2 )} dx.
  6. Оценить погрешность при вычислении интеграла

    $ I = \int\limits_0^1 {\frac{dx}{1 + x^2 }} $

    по формуле прямоугольников с центральной точкой, трапеций, Симпсона.

  7. На элементарном отрезке [xi, xi - 1] подынтегральная функция аппроксимируется кубическим сплайном:

    $ S_3^{(n)} = a_n + b_n (x - x_n) + \frac{c_n}{2}(x - x_n)^2 + \frac{d_n}{6}(x - x_n)^3 . $

    Вывести соответствующую формулу сплайн - квадратуры и исследовать ее точность.

Дальше >>
< Лекция 7 || Лекция 8: 12345678 || Лекция 9 >

Вопросы и ответы

вопросов: 1
Sanjar Ibrohimov
Sanjar Ibrohimov
ответить