Разделенные множества

Представление разделенных множеств древовидной структурой

Пусть, по-прежнему, — множество, из элементов которого будет строиться коллекция. Каждое подмножество коллекции представляется корневым деревом, узлы которого являются элементами этого подмножества, то есть отождествляются с номерами из множества . Корень дерева используется в качестве имени соответствующего подмножества (канонический элемент). Для каждого узла дерева определяется узел , являющийся его родителем в дереве; если — корень, то полагаем .

Фактически в памяти компьютера это дерево будем представлять массивом так, что будет предком узла , если не является корнем, и , если — корень. Если же не входит ни в одно из подмножеств коллекции, то .

Рассмотрим пример. Пусть и коллекция состоит из двух подмножеств и . Деревья, представляющие эти подмножества, могут быть такими, как на рис.3.1. Кружочки обозначают узлы дерева; указатели на родителей представлены при помощи стрелок. Именем одного из этих подмножеств является 3, другого — 6:

Рис. 3.1.

Реализация операций с помощью древовидной структуры

Операция СОЗДАТЬ ( ) назначает в качестве родителя узла сам узел с помощью присваивания . Таким образом, время выполнения операции есть . В результате выполнения операции СОЗДАТЬ( ) образуется новое одновершинное дерево с петлей в корне, изображенное на рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Если к коллекции подмножеств, изображенных на рис. 3.1, применить операцию СОЗДАТЬ (5), то получим коллекцию, изображенную на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Операция ОБЪЕДИНИТЬ ( ) назначает узел родителем узла с помощью присваивания . Заметим, что и должны быть до выполнения рассматриваемой операции корнями соответствующих деревьев. Именем вновь образованного подмножества будет , а перестанет быть именем какого-либо множества. Время выполнения этой операции есть .

Рис. 3.4.

Если применить операцию ОБЪЕДИНИТЬ к коллекции, представленной на рис. 3.3, то получим коллекцию, состоящую из двух подмножеств и , — изображенную на рис. 3.4. Именем первого из этих подмножеств будет 6, второго — 5.

Операция НАЙТИ ( ) осуществляется продвижением по указателям на родителей от узла до корня дерева. В качестве берется этот корень. Описанные действия можно реализовать с помощью операторов

Очевидно, что время выполнения данной операции есть , где — длина пути из узла в корень соответствующего дерева. Но заметим, что при выполнении операций СОЗДАТЬ и ОБЪЕДИНИТЬ возможно образование дерева в виде линейной цепочки из узлов, изображенной на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

К такой цепочке может привести, например, следующая последовательность операций

СОЗДАТЬ ( );

СОЗДАТЬ ( );

СОЗДАТЬ ( );

ОБЪЕДИНИТЬ ( );

ОБЪЕДИНИТЬ ( );

ОБЪЕДИНИТЬ ( );

Как видим, может достигать величины , поэтому трудоемкость операции НАЙТИ является величиной .

Худший случай применения операции НАЙТИ в данной ситуации — это НАЙТИ ( ). В этом случае необходимо сделать переход по ссылкам на родителей, чтобы дойти от узла к корню дерева , и один переход, чтобы узнать, что родитель узла есть сам узел .

Если операция СОЗДАТЬ выполняется раз, то время выполнения последовательности, составленной из операций ОБЪЕДИНИТЬ и/или НАЙТИ, при рассматриваемой реализации разделенных множеств есть величина . Действительно, время выполнения операций ОБЪЕДИНИТЬ, очевидно, есть , так как время выполнения одной такой операции есть константа. Время выполнения операций НАЙТИ есть , так как время выполнения одной такой операции есть . Итак, время выполнения произвольных операций есть .