Разделенные множества

Представление разделенных множеств с использованием рангов вершин

Предыдущую реализацию разделенных множеств можно усовершенствовать следующим образом. Операцию ОБЪЕДИНИТЬ можно выполнить так, чтобы высота дерева, соответствующего объединению двух множеств, была как можно меньше. А именно, корень большего по высоте дерева сделать родителем корня другого дерева. Назовем такую реализацию операции ОБЪЕДИНИТЬ объединением по рангу. В качестве ранга в данном случае берется высота соответствующего дерева.

Реализация операций с использованием рангов вершин

Для такой реализации разделенных множеств необходимо хранить с каждым узлом дополнительно еще одну величину — высоту поддерева, корнем которого является узел . Будем называть ее высотой, или рангом, узла . Остальные операции нужно настроить на корректную работу с этим полем. Будем хранить высоту каждого узла в ячейке массива .

Операция СОЗДАТЬ ( ) назначает в качестве родителя узла тот же самый , а высотой узла считает 0. Таким образом, время выполнения данной операции есть . В результате выполнения операции СОЗДАТЬ ( ) образуется новое дерево, изображенное на рис. 3.6. Число, расположенное рядом с узлом, обозначает его высоту. Описанные действия реализуются с помощью операторов

Рис. 3.6.

Операция ОБЪЕДИНИТЬ ( ) назначает корень большего по высоте дерева родителем корня другого дерева. Если деревья имеют одинаковую высоту, то узел назначается родителем узла , после чего значение высоты узла увеличивается на единицу. Заметим, что и должны быть до выполнения операции корнями соответствующих деревьев. Именем вновь образованного подмножества будет имя того из объединяемых подмножеств, у которого корень имел большую высоту, а имя другого из объединяемых подмножеств перестанет быть именем какого-либо из подмножеств. Очевидно, время выполнения этой операции есть константа. Выполнить описанные действия можно с помощью следующей процедуры:

На рис. 3.7 и рис. 3.8 показано применение операции ОБЪЕДИНИТЬ к коллекции, изображенной на рис. 3.3, с учетом высот объединяемых поддеревьев. Рядом с кружочками, изображающими узлы, показаны их высоты. Так как , то родителем узла 6 становится узел 3.

Операция НАЙТИ ( ) осуществляется, как и в предыдущей реализации, продвижением по указателям на родителей от узла до корня дерева. В качестве берется найденный корень.

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

Очевидно, что время выполнения данной операции, как и ранее, пропорционально длине пути из узла в корень соответствующего дерева. Однако длина такого пути в данном случае может быть оценена иначе. Для оценки длины этого пути докажем следующие леммы:

Лемма 1. В результате выполнения любой последовательности операций из набора СОЗДАТЬ, ОБЪЕДИНИТЬ, НАЙТИ над пустой коллекцией разделенных множеств для любого узла выполняется неравенство , где — количество узлов в поддереве с корнем — высота узла .

Доказательство Очевидно, перед первым применением операции ОБЪЕДИНИТЬ для любого узла имели , и, следовательно, . Операции СОЗДАТЬ и НАЙТИ не могут нарушить доказываемого неравенства, поэтому доказательство можно провести индукцией по количеству применений операции ОБЪЕДИНИТЬ.

Предположим, что перед очередным применением операции ОБЪЕДИНИТЬ ( ) доказываемое неравенство все еще остается верным, тогда если высота узла меньше высоты узла , то дерево, полученное с помощью ОБЪЕДИНИТЬ ( ), имеет корень , а высоты узлов и не изменились. Количество узлов в дереве с корнем не изменилось, а количество узлов в дереве с корнем увеличилось. Таким образом, как для узлов , , так и для всех остальных неравенство сохраняется. Случай, когда высота узла больше высоты узла , аналогичен рассмотренному.

Если же высоты деревьев с корнями и до выполнения операции были одинаковы ( , то узел становится родителем узла , высота узла увеличивается на 1, а высота узла не изменяется. Пусть после выполнения операции величины , , , становятся равными соответственно , , , , тогда имеем , , , . По предположению индукции, имеем и . Следовательно, после выполнения рассматриваемой операции для узлов и имеем соотношения

Лемма 2. Если за время работы, начавшейся с пустой коллекции, операция СОЗДАТЬ применялась раз, то для любого число узлов высоты удовлетворяет неравенству .

Доказательство Пусть — все узлы высоты , тогда по лемме 1 при справедливы неравенства . Таким образом,

Следствие 3. В результате выполнения любой последовательности операций из набора СОЗДАТЬ, ОБЪЕДИНИТЬ, НАЙТИ над пустой коллекцией разделенных множеств для любого узла имеет место неравенство .

Доказательство Дерево максимальной высоты образуется, очевидно, лишь тогда, когда все элементов объединяются в одно множество. Для такого дерева количество узлов максимальной высоты равно 1, по лемме 2 имеем , откуда и, следовательно, .

Следствие 4. Время выполнения операции НАЙТИ есть .

Следствие 5. При реализации разделенных множеств с использованием рангов время выполнения операций ОБЪЕДИНИТЬ и или НАЙТИ есть величина .

Замечание При реализации операции объединения подмножеств в качестве ранга узла можно использовать количество узлов в поддереве с корнем в данном узле. Утверждение леммы 1 будет справедливым и в этом случае, следовательно, сохранятся и оценки времени выполнения операций.