Россия |
Понятие о методах конечных элементов
7.5. Построение базисных функций
Математическая основа МКЭ — метод Галеркина и вариационный метод Ритца — развиваются, начиная со второго десятилетия XX века. Прогресс в МКЭ последних лет заключается именно в построении наборов базисных функций, обладающих достаточной гладкостью — так называемых согласованных базисов.
Базис из "крышечек" в двумерном случае. Процесс построения базисных функции включает в себя:
- триангуляцию области — разбиение на треугольники, каждый из которых является носителем своей базисной функции ;
- построение базисных функций.
Требования к триангуляции (обозначения на рис. 7.3).
- Между точками S и Sh с помощью нормалей к S устанавливается взаимно - однозначное соответствие, расстояние между соответствующими точками не превосходит
( h — сеточный параметр).
- Длины сторон треугольников и их площади лежат в пределах [hl1, hl2] и
, где
— положительные константы, не зависящие от h.
- Существует непрерывное взаимно - однозначное преобразование Dh на область, границы которой параллельны осям координат, или составляют с ними угол
Преобразование линейно внутри каждого треугольника и переводит последний в равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными h.
Простейший пример построения триангуляции.
- Область D вписываем в прямоугольник.
- Строим в прямоугольнике равномерную сетку с шагом h (рис. 7.4).
- Ближайшие к границе D узлы сетки сдвигаем на границу D (рис. 7.5).
- Разбиваем четырехугольники внутри Dh диагоналями (рис. 7.6).
- Убираем все ячейки, пересечение которых с Dh пусто (рис. 7.7).
Построение базисной функции — "крышечки". Фиксируем вершину P1 какого - либо треугольника. Составляем список соседей — вершин, принадлежащих треугольникам, имеющим вершину P1. Пусть в списке есть вершины Q1 и Q2, принадлежащие треугольнику 1 (рис. 7.8). В этом треугольнике представляем

Тогда для точки

К сожалению, базисных функций типа "крышечек" может не хватить для решения уравнений второго (по пространственной производной) порядка. До сих пор рассматривались уравнения второго порядка. Перейдем теперь к модельному уравнению
![]() |
( 7.12) |
с какими - либо граничными условиями.
Будем искать решение в соответствии с методами МКЭ:
![]() |
( 7.13) |
где обладают финитным носителем. Подставляем
разложение (7.13) в (7.12). Отвлекаясь от членов с граничными условиями, отнесенными к
, при умножении на
имеем
![]() |
( 7.14) |
Отсюда следует, чтобы первая сумма в (7.14) вычислялась, желательно, чтобы базисы были гладкими:
![\begin{gather*} \psi_{l}^{N} \in W_2^2[0, X], \\
\| \psi_{l}^{N}\|_{W_2^2}^2 = \int\limits_0^{X}{\left[{(\psi_{l}^{N})^2 + \left({\frac{{d \psi_{l}^{N}}}{dx}}\right)^2 + \left({\frac{{d^2 \psi_{l}^{N}}}{{dx^2}}}\right)^2}\right]dx}, \end{gather*}](/sites/default/files/tex_cache/1acace439f9b6a602142d799ef5d87a9.png)