НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 7: Понятие о методах конечных элементов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

7.7. Решение нелинейных уравнений с помощью МКЭ

Рассмотрим в качестве простейшего примера уравнение Хопфа

${\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + 6u \frac{{{\partial}\mboxit{u}}}{{{\partial}\mboxit{x}}} = 0.}$

( 7.18)

Его решение, как и ранее, ищем в виде (7.14), при этом по - прежнему используем базис из "крышечек". После вычислений получаем

${\frac{1}{6} \frac{{dC_{j - 1}}}{dt} + \frac{2}{3} \frac{{dC_j }}{dt} + \frac{1}{6} \frac{{dC_{j + 1}}}{dt} - C_{j - 1}^2 - C_j C_{j - 1} + C_j C_{j + 1} + C_{j + 1}^2 = 0.}$

( 7.19)

Если написать дискретизацию (7.19) неявным образом (по величинам на n + 1 - м слое по времени или по аналогии со схемой Кранка - Николсон), то получается нелинейная относительно $C_j^{n + 1}$ система. Ее необходимо решать с помощью метода Ньютона. Можно линеаризовать (7.19) в окрестности $C_j^{n}$ , считая, что

$C_j^{n + 1} \approx C_j^{n} + {\tau} \frac{dC_j }{dt}.$

Тогда (7.19) преобразуется в следующую линейную относительно величин на n + 1 - м слое по времени запись:

$\begin{gather*} \frac{1}{6} \frac{{C_{j - 1}^{n + 1} - C_{j - 1}^{n}}}{\tau} + \frac{2}{3} \frac{{C_j^{n + 1} - C_j^{n}}}{\tau} + \frac{1}{6} \frac{{C_{j + 1}^{n + 1} - C_{j + 1}^{n}}}{\tau} - (C_{j - 1}^{n})^2 - \\ - 2C_{j - 1}^{n}C_{j - 1}^{n + 1} - C_j^{n}C_{j - 1}^{n} - C_j^{n} C_{j - 1}^{n + 1} - C_j^{n + 1} C_{j - 1}^{n} + \\ + C_j^{n} C_{j + 1}^{n} + C_j^{n} C_j^{n + 1} + C_j^{n} C_{j + 1}^{n + 1} + (C_{j + 1}^{n})^2 + 2C_{j + 1}^{n}C_{j + 1}^{n + 1} = 0. \end{gather*}$

Эту систему можно решать, используя метод немонотонной прогонки — гибрид метода прогонки и алгоритма Гаусса с выбором ведущего элемента.

Возможен и другой подход — линеаризация исходного уравнения (7.18) и решение получившейся последовательности линейных уравнений для определения приближенного решения задачи.

За рамками этой лекции, кроме технических подробностей, остались численные методы, основанные на применении минимизации функционала квадрата невязки — методы наименьших квадратов, а также методы граничных элементов для решения эллиптических задач.

7.8. Задачи для самостоятельного решения

При решении задачи с использованием метода Ритца на отрезке [0, 4] используются глобальные базисы
1. $\frac{x}{4}, x(4 - x), x(16 - x^2), \ldots , x(4^{N} - x^{N});$
2. $\frac{x}{4}, x(4 - x), x^2 (4 - x), \ldots , x^{N} (4 - x);$
3. $\frac{x}{4}, \frac{x}{4} \left({1 - \frac{x}{4}}\right), \frac{x}{4} \left({1 - \frac{{x^2}}{{16}}}\right), \ldots , \frac{x}{4} \left({1 - \frac{{x^{N}}}{{4^{N}}}}\right).$
Описать достоинства и недостатки каждого из этих базисов.