НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

5.9. TVD - схемы для квазилинейного уравнения с антидиффузией.

Повысить порядок аппроксимации TVD - схем можно, введя в уравнение переноса антидиффузионный член

$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + \frac{{\partial}}{{\partial}x} \left( {f + \frac{h}{\tau} \bar{f}}\right) = 0,$

где дополнительный антидиффузионный поток имеет порядок погрешности аппроксимации и вводится по формуле

$\bar{f} = h {\mu}({\sigma}, u) \frac{{\partial}u}{{\partial x}}.$

Очевидно, что это дополнительное слагаемое в исходном уравнении будет иметь вид

$\frac{{\partial}}{{\partial}x}(h {\mu}\frac{{\partial}u} {{\partial}x}).$

Таким образом, проведена коррекция потока, компенсирована аппроксиммационная вязкость. Хартен предложил модифицировать поток, введя в него функцию P:

$\tilde{f}_{m + 1/2} = \frac{1}{2}(f_m + f_{m + 1} + P_{m + 1/2} ),$

причем разные TVD - схемы различаются выбором этого слагаемого P. В исходном варианте разностной схемы, предложенной Хартеном, эта функция выбиралась следующим образом:

$P_{m + 1/2} = \frac{h}{\tau}(\bar{f}_m + \bar{f}_{m + 1} - \left|{\xi_{m + 1/2} + \bar{\xi}_{m + 1/2}}\right| \Delta_{m + 1/2} u),$

где $\xi _{m + 1/2} = \sigma a_{m + 1/2}$ ,

$\bar{f}_{m \pm 1/2} = \frac{1}{2} \left({\left| {\xi_{m + 1/2}}\right| - \xi_{m + 1/2}^2}\right) \Delta_{m + 1/2}u.$

$\begin{gather*} \xi_{m + 1/2} = \left\{ \begin{array}{cc} {\frac{\bar{f}_{m + 1} - \bar{f}_m}{u_{m + 1} - u_m}, } & {(u_{m + 1} - u_m) \ne 0} \\ {0, } & {(u_{m + 1} - u_m) = 0, } \\ \end{array} \right. \\ \bar{f}_{m \pm 1/2} = \frac{1}{2} \left(\left| \xi_{m + 1/2}\right| - \xi^2_{m + 1/2}\right) \Delta_{m + 1/2}u. \end{gather*}$

Эта схема, тем не менее, приводила к заметному размазыванию разрывов в решении.

Приведем также другие виды ограничительной функции. Общий вид записи лимитера будет один и тот же:

$P_{m + 1/2} = - \left[{{\sigma}Q_{m + 1/2} + \eta (a_{m + 1/2})(\Delta_{m + 1/2} u - Q_{m + 1/2} )}\right],$

а Q_{m + 1/2} может выбираться из следующих вариантов:

$\begin{gather*} Q_{m + 1/2} = \min\bmod (\Delta_{m + 1/2} u, \Delta_{m - 1/2} u) + \\ + \min\bmod (\Delta_{m + 1/2} u, \Delta_{m + 3/2} u) - \Delta_{m + 1/2}, \\ Q_{m + 1/2} = \min\bmod (\Delta_{m - 1/2} u, \Delta_{m + 1/2}u, \Delta_{m + 3/2} u), \\ Q_{m + 1/2} = \min\bmod (2 \Delta_{m - 1/2} u, 2 \Delta_{m + 1/2} u), 2 \Delta_{m + 3/2} u, 0, 5(\Delta_{m + 3/2} u + \Delta_{m - 1/2})). \end{gather*}$

Еще один вариант выбора лимитера в уравнении квазилинейного типа будет

$P_{m + 1/2} = - \left[{{\sigma}(a_{m + 1/2}^2 ) \tilde{Q}_{m + 1/2} + \eta (a_{m + 1/2} )(1 - \bar{Q}_{m + 1/2} )}\right] \Delta_{m + 1/2} u,$

С согласованным выбором функции $\tilde{Q}_{m + 1/2} = Q_{m + 1/2} \cdot \Delta_{m + 1/2} u$ .

Введем обозначения показателей локальной гладкости решения

$r^{-} = \frac{{\Delta_{m - 1/2} u}}{{\Delta_{m + 1/2} u}}, r^{+} = \frac{{\Delta_{m + 3/2} u}}{{\Delta_{m + 1/2} u}},$

и представим функции Q(r^-, r⁺), входящие в выражения для ограничения потока, в виде

$\begin{gather*} Q(r^{-}, r^{+}) = \min\bmod(1, r^{-}) + \min\bmod(1, r^{+}) - 1, \\ Q(r^{-}, r^{+}) = \min\bmod(r^{-}, r^{+}), \\ Q(r^{-}, r^{+}) = \min\bmod(2, 2r^{-}, 2r^{+}, 0, 5(r^{-}+ r^{+}) ). \end{gather*}$

Итак, напомним основные идеи, направленные на построение TVD - схем повышенного порядка точности:

- построение гибридных схем, аналогичных методу коррекции потоков [15.17];
- построение схем с модифицированным по Хартену потоком [15.18];
- построение схем, основанных на методе Годунова второго порядка аппроксимации [15.20], [15.21].

Дальше >>

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

5.9. TVD - схемы для квазилинейного уравнения с антидиффузией.

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

5.9. TVD - схемы для квазилинейного уравнения с антидиффузией.

Вопросы и ответы

Студенты