Численные методы решения уравнений в частных производных

:

Численные методы решения уравнений в частных производных
[+]
Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

A
|
версия для печати
< Лекция 4 || Лекция 5: 123456789 || Лекция 6 >

5.8. Однопараметрическое семейство неявных схем

Рассмотрим однопараметрическое семейство неявных разностных схем для численного решения нелинейного уравнения переноса. Схемы, принадлежащие этому семейству, запишутся следующим образом:

u_m^{n + 1} + {\sigma}\theta (f_{{m} + 1/2}^{n + 1} - f_{{m} - 1/2}^{n + 1} ) = u_m^{n} - \sigma (1 - \theta )(f_{{m} + 1/2}^{n} - f_{{m} - 1/2}^{n} ),

весовой множитель меняется от нуля до единицы: 0 \le \theta < 1.

Потоковая форма записи этих квазилинейных уравнений будет

u_m^{n + 1} = u_m^{n} - \sigma (\bar{f}_{{m} + 1/2} - \bar{f}_{{m} - 1/2} ), \bar{f}_{{m} \pm 1/2} = (1 - \theta )f_{{m} + 1/2}^{n} + \theta f_{{m} + 1/2}^{n + 1}.

Такая запись однопараметрического семейства схем включает в себя как явные (при \theta = 0 ), так и неявные (например, при \theta = 1, \theta = 0, 5 ) разностные схемы.

Для вычисления числового потока будем использовать формулы

$ f_{{m} + 1/2} = \frac{1}{2}(f_{{m} + 1} + f_m + \varphi_{{m} + 1/2} ), f_{{m} - 1/2} = \frac{1}{2}(f_m + f_{m - 1} + \varphi_{{m} - 1/2} ), $

где дополнительные слагаемые для вычисления потока в полуцелых точках есть

\begin{gather*} \varphi_{{m} + 1/2} = - \Delta_{{m} + 1/2} u \left[{\eta (a_{{m} + 1/2} )(1 - Q_{{m} + 1/2} ) + \sigma_{{m} - 1/2}^2 Q_{{m} + 1/2}}\right], \\ \varphi_{{m} - 1/2} = - \Delta_{{m} - 1/2} u \left[{\eta (a_{{m} - 1/2} )(1 - Q_{{m} - 1/2} ) + \sigma_{{m} - 1/2}^2 Q_{{m} - 1/2}}\right]. \end{gather*}

Подстановка выражений для потоков в исходную однопараметрическую разностную схему приводит к следующему выражению:

\begin{gather*} u_m^{n + 1} + \frac{{\sigma}}{2} \theta \left\{{f_{{m} + 1} - \left[{\eta (a_{{m} + 1/2} )(1 - Q_{{m}+ 1/2} )+ \sigma_{{m} + 1/2}^2 Q_{{m} + 1/2}}\right] \Delta_{{m} + 1/2} u}\right\}^{n + 1} - \\ - \frac{{\sigma}}{2} \theta \left\{{f_{m - 1} - \left[{\eta (a_{{m} - 1/2} ) (1 - Q_{{m}{- } 1/2} ) + \sigma_{{m} - 1/2}^2 Q_{{m} - 1/2}}\right] \Delta_{{m} - 1/2} u}\right\}^{n + 1} = F_m^{n}, \end{gather*}

или

\begin{gather*} u_m^{n + 1} + \frac{{\sigma}}{2} \theta \left({\frac{{f_{{m} + 1} - f_m }}{{\Delta_{{m} + 1/2} u}} - \Psi_{{m} + 1/2} \Delta_{{m} + 1/2} u}\right)^{n + 1} - \\ - \frac{{\sigma}}{2} \theta \left({\frac{{f_m - f_{m - 1}}}{{\Delta_{{m} - 1/2} u}} - \Psi_{{m} - 1/2} \Delta_{{m} - 1/2} u}\right)^{n + 1} = F_m^{n}, \end{gather*}

где F_m^{n} — величины, вычисляемые на n слое по времени, кроме того, в левой части прибавили и вычли величину f_m^{n + 1}, введено обозначение \psi_{{m} \pm 1/2} = \eta (a_{{m} \pm 1/2} )(1 - Q_{{m} \pm 1/2} ) + \eta_{{m} \pm 1/2}^2 Q_{{m} \pm 1/2}.

При способе вычисления локальной скорости переноса в соответствии с правилами

\begin{gather*} a_{{m} + 1/2} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f_{{m} + 1/2} - f_m }}{{\Delta_{{m} + 1/2} u}}, \quad \Delta_{{m} + 1/2} u \ne 0 \\ a(u_m ), \quad \Delta_{{m} + 1/2} u = 0, \\ \end{array} \right. \\ a_{{m} - 1/2} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f_m - f_{m - 1}}}{{\Delta_{{m} - 1/2} u}}, \quad \Delta_{{m} - 1/2} u \ne 0, \\ a(u_m ), \quad \Delta_{{m} - 1/2} u = 0, \\ \end{array} \right. \end{gather*}

получим разностную схему

\begin{gather*} u_m^{n + 1} + \frac{{\sigma}}{2} \theta (a_{{m} + 1/2}^{n + 1} - \Psi_{{m} + 1/2}^{n + 1} ) \Delta_{{m} + 1/2} u^{n + 1} - \\ \frac{{\sigma}}{2} \theta (- a_{{m} - 1/2}^{n + 1} - \Psi_{{m} - 1/2}^{n + 1} ) \Delta_{{m} - 1/2} u^{n + 1} = F_m^{n}, \end{gather*}

или, в чуть сокращенной форме записи,

\begin{gather*} u_m^{n + 1} - {\sigma}\theta (C_{{m} + 1/2}^{+}\Delta_{{m} + 1/2} u - C_{{m} - 1/2}^{-}\Delta_{{m} - 1/2}u)^{n + 1} = \\ = u_m^{n} + {\sigma}(1 - \theta )(C_{{m} + 1/2}^{+}{\Delta}{}_{{m} + 1/2}u - C_{{m} - 1/2}^{-} \Delta_{{m} - 1/2} u)^{n} \end{gather*}

Алгоритм решения приведенного разностного уравнения — прогонка.

Дальше >>
< Лекция 4 || Лекция 5: 123456789 || Лекция 6 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0

Студенты

всего: 30
Максим Радунцев
Максим Радунцев
Россия
предложить дружбу
Надежда Павленко
Надежда Павленко
Россия, Ставрополь
предложить дружбу