НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

5.10. TVD - схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа

Построим разностную схему типа TVD для случая одномерной системы линейных уравнений в частных производных гиперболического типа, к которым относятся, например, системы уравнений акустики или теории упругости.

Запишем систему как и ранее в матричной форме представления

$\frac{{{\partial}{\mathbf{u}}}}{{\partial}t} + {\mathbf{A}} \frac{{{\partial}{\mathbf{u}}}}{{\partial}x} = 0,$

где u — вектор - столбец искомых функций, $\mathbf{A}$ — квадратная матрица n x n с постоянными коэффициентами, t, x — независимые переменные. Пусть матрица $\mathbf{A}$ имеет n действительных собственных чисел $\lambda _{i}$ и собственных векторов $\omega _{i}$ . Без ограничения общности можно считать, что среди этих собственных чисел нет кратных, а соответствующие собственные вектора образуют базис.

Тогда возможен переход к базису из собственных векторов, в котором матрица системы диагонализуется, сама система запишется как

$\frac{{{\partial}{\mathbf{u}}}}{{\partial}t} + {{\Omega }}^{- 1}{{\Lambda \Omega }} \frac{{{\partial}{\mathbf{u}}}}{{\partial}x} = 0,$

где $\Lambda$ — диагональная матрица из собственных чисел матрицы $\mathbf{A}$ , $\Omega$ — матрица, строками которой являются соответствующие левые собственные векторы. Последнее уравнение можно переписать следующим образом:

$\frac{{{\partial}{\mathbf{R}}}}{{\partial}t} + {{{\Lambda}}} \frac{{\partial {\mathbf{R}}}}{{\partial}x} = 0,$

где ${\mathbf{R}} = {\Omega \mathbf{u}}$ — инварианты Римана.

Разностную схему для численного решения уравнения в инвариантах представим в виде:

$\begin{gather*} {\mathbf{R}}_m^{n + 1} = {\mathbf{R}}_m^{n} - {\sigma}({\mathbf{\tilde{f}}}_{m + 1/2} - {\mathbf{\tilde{f}}}_{m - 1/2}), \\ {\mathbf{\tilde{f}}}_{m \pm 1/2} = \frac{1}{2}({\mathbf{f}}_m + {\mathbf{f}}_{m + 1} + {{\Omega }}_{m + 1/2} \varphi_{m + 1/2} ). \end{gather*}$

Здесь $\sigma = \tau /h$ , а $\varphi_{m + 1/2}$ вычисляется аналогично скалярному случаю, с учетом того, что вместо a_{m + 1/2} необходимо брать $\lambda_{m + 1/2}^{i}$ , i — номер собственного значения, вместо $\Delta _{m + 1/2}u$ : ${\mathbf{u}}_{m + 1/2} = {\mathbf{\Omega}}_{m + 1/2}^{- 1} ({\mathbf{u}}_{m + 1} - {\mathbf{u}}_m )$ .

Явную схему TVD второго порядка точности типа предиктор - корректор для численного решения нелинейной системы уравнений гиперболического типа представим в виде:

$\begin{gather*} {\mathbf{\tilde{u}}}_m = {\mathbf{u}}_m^{n} - {\sigma}({\mathbf{f}}_m^{n} - {\mathbf{f}}_{m - 1}^{n} ), \\ {\mathbf{\tilde{\tilde{u}}}}_m = \frac{1}{2}({\mathbf{\tilde{u}}}_m + {\mathbf{u}}_m^{n}) - \frac{\sigma }{2}({\mathbf{\tilde{f}}}_{m + 1} - {\mathbf{\tilde{f}}}_m ), \\ {\mathbf{u}}_m^{n + 1} = {\mathbf{\tilde{\tilde{u}}}}_m + {{\Omega }}_{m + 1/2}^{n} \varphi_{m + 1/2}^{n} - {\omega }_{m - 1/2}^{n} \varphi_{m - 1/2}^{n} , \end{gather*}$

где компоненты вектора

$\varphi_{m + 1/2}^{i} = - \frac{{\eta (\lambda_{m + 1/2}^{i} ) + \gamma_{m + 1/2}^2}}{{U_{m + 1/2}^{i} - Q_{m + 1/2}^{i}}}$

.

Функция, входящая в выражение для лимитера, вычисляется

$Q_{m + 1/2} = \left\{ \begin{array}{l} \min\bmod ({\mathbf{u}}_{m + 1/2}, {\mathbf{u}}_{m - 1/2} ) + \\ + \min\bmod ({\mathbf{u}}_{m + 1/2}, {\mathbf{u}}_{m + 3/2}) - {\mathbf{u}}_{m + 1/2},\\ {\min\bmod ({\mathbf{u}}_{m + 1/2}, {\mathbf{u}}_{m - 1/2}, {\mathbf{u}}_{m + 3/2} ), } \\ {\min\bmod (2{\mathbf{u}}_{m - 1/2}, 2{\mathbf{u}}_{m + 1/2}, 2{\mathbf{u}}_{m + 3/2}, 0, 5({\mathbf{u}}_{m - 1/2} + {\mathbf{u}}_{m + 3/2} ))} . \\ \end{array} \right.$

Дальше >>

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

5.10. TVD - схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

5.10. TVD - схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа

Вопросы и ответы

Студенты