Основные понятия теории графов

Определение графа

Графом называется пара , где — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, а — конечное семейство неупорядоченных пар элементов из (необязательно различных), называемых ребрами. Употребление слова "семейство" говорит о том, что допускаются кратные ребра. Будем называть " множеством вершин " , а — семейством ребер графа . О каждом ребре вида говорят, что оно соединяет вершины и Каждая петля соединяет вершину саму с собой.

При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными; длины отрезков и расположение точек произвольны.

Определение орграфа

Орграфом называется пара , где — непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, а — конечное семейство упорядоченных пар элементов из , называемых дугами (или ориентированными ребрами ). Дуга, у которой вершина является первым элементом, а вершина — вторым, называется дугой из в . Заметим, что дуги и различны. Хотя графы и орграфы — существенно различные объекты, в определенных случаях графы можно рассматривать как орграфы, в которых каждому ребру соответствуют две противоположно ориентированные дуги.

Полный граф

Граф называется полным, если каждые две различные вершины его соединены одним и только одним ребром. В полном графе каждая его вершина принадлежит одному и тому же числу ребер. Для задания полного графа достаточно знать число его вершин. Полный граф с вершинами обычно обозначается через .

Граф, не являющийся полным, можно преобразовать в полный с теми же вершинами, добавив недостающие ребра. Вершины графа и ребра, которые добавлены, тоже образуют граф. Такой граф называют дополнением графа и обозначают его .

Дополнением графа называется граф с теми же вершинами, что и граф , и с теми и только теми ребрами, которые необходимо добавить к графу , чтобы получился полный граф.

Является граф полным или нет, это его характеристика в целом.

Полный ориентированный граф

Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одним ориентированным ребром. Если с каждого ребра полного ориентированного графа снять направление, то образуется полный граф с неориентированными ребрами.

Рассмотрим соревнование, в котором каждая из команд играет с каждой из остальных команд по одному разу. Такое соревнование называют круговым турниром или турниром в один круг.

Если каждая встреча непременно должна оканчиваться выигрышем одной из команд, то круговой турнир называют бескомпромиссным. Круговой бескомпромиссный турнир проводится, например, в волейболе и баскетболе.

Каждому турниру соответствует полный ориентированный граф, в котором вершины представляют команды, а каждое ориентированное ребро выражает отношение " победила ".