НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 7: Графы с цветными ребрами

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Реберная раскраска. Задачи на графы с цветными ребрами и вытекающие из них свойства. Задача о несцепленных треугольниках с одноцветными сторонами.

Реберная раскраска

Граф называется реберно - раскрашиваемым, если его ребра можно раскрасить красками таким образом, что никакие два смежных ребра не окажутся одного цвета. Если граф реберно -раскрашиваем, но не является реберно (k-1) -раскрашиваемым, то называется хроматическим классом или хроматическим индексом, или реберно-хроматическим числом графа . При этом используется запись $\chi_{e}(G)=k$ . На рисунке изображен граф , для которого $\chi_{e}(G)=4$ .

Ясно, что если наибольшая из степеней вершин графа равна $\rho$ , то $\chi_{e}(G)\ge \rho$ . Следующий результат, известный как теорема Визинга, дает точные оценки для хроматического класса графа . Доказательство этой теоремы можно найти у Оре (Ore O. The four-color problem, Academic Press, New York, 1967).

Теорема 7.1.(Визинг, 1964) Пусть в графе , не имеющем петель, наибольшая из степеней вершин равна $\rho;$ тогда $\rho \le \chi _{e} (G)\le \rho +1$ .

Задача, состоящая в выяснении того, какие графы имеют хроматический класс $\rho$ , а какие $\rho +1$ , не решена. Однако в некоторых частных случаях соответствующие результаты находятся легко. Например, $\chi_{e} (C_{n})=2$ или 3 в зависимости от того, четно или нечетно, а $\chi_{e}(W_{n} )=n-1$ , при $n\ge 4$ . Хроматические классы полных графов и полных двудольных графов вычисляются тоже просто.

Теорема 7.2. $\chi _{e} (K_{m,n} )=\rho =\max (m,n)$ .

Доказательство

Без потери общности можно считать, что $m\ge n$ и что граф $K_{m,n}$ изображен так:

вершин расположены на горизонтальной линии под вершинами. Тогда искомая реберная раскраска получается последовательным окрашиванием ребер, инцидентных этим вершинам, с использованием следующих групп красок:

$\{1,2\dts m\};\{2,3\dts m,1\};\ldots ;\{n\dts m,1\dts n-1\};$

при этом краски из каждой группы располагаются по часовой стрелке, вокруг соответствующей вершины.

Теорема 7.3. $\chi_{e}(K_{n})=n$ , если нечетно $(n\ne 1)$ , и $\chi _{e}(K_{n})=n-1$ , если четно.

Доказательство

В случае нечетного расположим вершины графа $K_{n}$ в виде правильного -угольника. Тогда его ребра можно раскрасить следующим образом: сначала окрашиваем каждую сторону -угольника в свой цвет, а затем каждое из оставшихся ребер, диагонали -угольника, окрашиваем в тот же цвет, что и параллельная ему сторона.

То, что граф $K_{n}$ не является реберно (n-1) -раскрашиваемым, сразу же следует из того, что максимально возможное число ребер одного цвета равно (n-1)/2 .

В случае четного $n(\ge 4)$ граф $K_{n}$ можно рассматривать как соединение полного (n-1) — графа $K_{n-1}$ и отдельной вершины. Если в $K_{n-1}$ окрасить ребра описанным выше способом, то для каждой вершины останется один неиспользованный цвет, причем все эти неиспользованные цвета будут различными. Таким образом, чтобы получить реберную раскраску $K_{n}$ , достаточно окрасить оставшиеся ребра в соответствующие "неиспользованные" цвета.