НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 9: Орграфы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Определения. Эйлеровы и гамильтоновы орграфы. Турниры.

Ключевые слова: орграф, вершины, дуги, ориентированные ребра, дуга, вершина, дуга из, множество вершин, граф, ребро, основание орграфа, смежные, инцидентными любой такой дуге (а дуга — инцидентной соответствующим вершинам, Два орграфа, изоморфные, изоморфизм, смежность, матрица, Орграфы, простыми, Ориентированный маршрут, орцепи, простые орцепи и орциклы, орцепь, связен, или слабо связен, основание, сильно связен, орсвязный, Связный граф, ПО, связность, тупик, ориентируемй, задание ориентации графа, приписывание направлений ребрам, эйлерова цепь, цикла, доказательство, орграф, эйлеров, эйлерова орцепь, связь, полустепень исхода, полустепень захода, полустепень захода, Полустепень исхода, орлема о рукопожатиях, Источник орграфа, полустепень, Сток орграфа, сток, гамильтонов, орцикл, полугамильтонов, теорема Дирака, обобщение, graph, AND, hypergraph, Турнир, команда, гамильтонов, инцидентность, множества

Определения

Сначала напомним некоторые определения из "Основные понятия теории графов" .

Орграфом $\mathrm{D}$ называется пара (V(D),A(D)) , где V(D) непустое конечное множество элементов, называемых вершинами, а A(D) — конечное семейство упорядоченных пар элементов из V(D) , называемых дугами (или ориентированными ребрами ). Дуга, у которой вершина является первым элементом, а вершина — вторым, называется дугой из в (v,w) . Заметим, что дуги (v,w) и (w,v) различны. Хотя графы и орграфы — различные объекты, в определенных случаях графы можно рассматривать как орграфы, в которых каждому ребру соответствуют две противоположно ориентированные дуги. V(D) и A(D) называются соответственно множеством вершин и семейством дуг орграфа .

Рис. 9.1.

На (рис. 9.1) представлен орграф, дугами которого являются (u,v),(v,v),(v,w),(v,w),(v,w),(w,v),(w,u),(z,w) . Порядок вершин на дуге указан стрелкой. Граф, полученный из орграфа удалением стрелок, то есть заменой каждой дуги вида (v,w) на соответствующее ребро $\{v,w\}$ , называется основанием орграфа . Многие определения, данные для графов, можно перенести на орграфы. К примеру, две вершины v,w орграфа называются смежными, если в A(D) существует дуга вида (v,w) или (w,v) ; при этом вершины v,w называются инцидентными любой такой дуге (а дуга — инцидентной соответствующим вершинам ). Два орграфа называются изоморфными, если существует изоморфизм между их основаниями, сохраняющий порядок вершин на каждой дуге. Матрицей смежности орграфа с множеством вершин $\{ v_{1}\dts v_{n}\}$ является матрица, в которой $a_{ij}$ равно числу дуг вида $(v_{1},v_{j})$ в семействе A(D) . Матрица смежности для начерченного графа

$\begin{pmatrix} {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {1} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}.$

Орграфы, не содержащие петель и кратных ребер, называются простыми. Ориентированный маршрут в орграфе представляет собой конечную последовательность дуг вида $(v_{0},v_{1}),(v_{1},v_{2})\dts (v_{m-1},v_{m})$ . Эту последовательность можно записывать в виде $v_{0} \to v_{1} \to \ldots \to v_{m}$ и говорить об ориентированном маршруте из $v_{0}^{}$ в $v_{m}$ . Аналогичным образом можно определить ориентированные цепи, ориентированные простые цепи и ориентированные циклы — орцепи, простые орцепи и орциклы. Заметим, что хотя орцепь не может содержать данную дугу (v,w) более одного раза, она может содержать одновременно (v,w) и (w,v) . Например, на (рис. 9.1) $z\to w\to v\to w\to u$ является орцепью.