НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 2: Некоторые определения теории графов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Определения и примеры. Удаление ребер, мосты. Деревья. Перечисление деревьев.

Ключевые слова: матрица смежности, матрица, степень вершины, ПО, граф, изоморфизм, матрица инциденций, вершина, вполне несвязный, пустой граф, Несвязный граф, полный граф, полный граф, регулярный граф, регулярные степени, кубические, трехвалентные графы, платоновы графы, множества, объединение, соединение, матрица смежности., Обхват графа, длина, цикла, Множество, ребер графа, независимое, Диаметр, связного графа, расстояние, Центр графа, радиус, удаление ребра, ребро, мост графа, определение, объект, мост, путь, Связный граф, дерево, дерево, команда, Лес, компонент, вершины графа, остовное дерево, остов, каркас графа, остовной лес, циклический ранг или циклическое число графа, ранг, изолированная вершина, Помеченный, распределение меток, помеченный граф, метка, изоморфный, доказательство, labeled, math

Определения и примеры

Матрицей смежности графа с множеством вершин $\{v_{1} \dts$ $v_{n}\}$ (соответствующей данной нумерации вершин) называется матрица ${A=(a_{ij})}$ размера $n\times n$ , в которой элемент $a_{ij}$ равен числу ребер в , соединяющих $v_{i}$ и $v_{j}$ . Можно получить несколько различных матриц смежности данного графа, меняя обозначения его вершин. Это приведет к изменению порядка строк и столбцов матрицы . Но в результате всегда получится симметричная матрица из неотрицательных целых чисел, обладающая тем свойством, что сумма чисел в любой строке или столбце равна степени соответствующей вершины. Каждая петля учитывается в степени вершины один раз. Обратно, по любой заданной симметричной матрице из неотрицательных целых чисел легко построить граф, единственный с точностью до изоморфизма, для которого данная матрица является матрицей смежности. Отсюда следует, что теорию графов можно свести к изучению матриц особого типа.

Матрицей инциденций простого графа с множеством вершин $v_{1}$ ,... $v_{m}$ называется матрица $A=(a_{ij})$ размера $m\times n$ , у которой $a_{ij}^{} = 1$ , если вершина $v_{j}$ инцидентна ребру $e_{i}$ , и $a_{ij} = 0$ , в противном случае.

Граф, у которого множество ребер пусто, называется вполне несвязным или пустым графом. Будем обозначать вполне несвязный граф с вершинами через $N_{n}$ . Простой граф, в котором любые две вершины смежны, называется полным графом. Полный граф с вершинами обычно обозначается через $K_{n}$ . Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом. Если степень каждой вершины равна , то граф называется регулярным степени . Регулярные графы степени 3 называются также кубическими, или трехвалентными графами. Каждый вполне несвязный граф является регулярным степени , а каждый полный граф $K_{n}$ — регулярным степени n-1 . Среди регулярных графов особенно интересны платоновы графы — графы, образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников — платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Объединение и соединение двух графов. Существует несколько способов соединения двух графов для образования нового, большего графа. Рассмотрим два из них. Пусть даны два графа $G_{1} =(V(G_{1}),E(G_{1} ))$ , $G_{2} =(V(G_{2}),E(G_{2}))$ , причем множества $V(G_{1}),V(G_{2})$ не пересекаются. Тогда объединением $G_{1} \bigcup G_{2}$ графов $G_{1},G_{2}$ называется граф с множеством вершин $V(G_{1})\bigcup V(G_{2})$ и семейством ребер $E(G_{1} )\bigcup E(G_{2})$ . Можно также образовать соединение графов $G_{1},G_{2}$ , обозначаемое $G_{1}+ G_{2}$ , взяв их объединение и соединив ребрами каждую вершину графа $G_{1}$ с каждой вершиной графа $G_{2}^{}$ .

Пример матрицы смежности. Пусть дан граф

Матрица смежности

$\begin{pmatrix} {1} & {1} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \end{pmatrix}$

Обхватом графа называется длина его кратчайшего цикла. Множество ребер графа называется независимым, если оно не содержит циклов, то есть никакая совокупность ребер из не образует цикла. Диаметром $\delta$ связного графа называется максимальное возможное расстояние между любыми двумя его вершинами. Центром графа называется такая вершина , что максимальное расстояние между и любой другой вершиной является наименьшим из всех возможных. Это расстояние называется радиусом . Таким образом,