НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 8: Раскрашивание графов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Хроматическое число. Гипотеза о четырех красках. Раскрашивание карт.

Ключевые слова: вершины графа, ребро, граф, раскрашиваемый, хроматический, хроматическое число графа, хроматическое число, вполне несвязный, двудольный граф, степень вершины, ПО, инцидентность, Связный граф, регулярные степени, подграф, вершина, очередь, доказательство, полный граф, planar, MAP, math, SOC, планарный граф, слово, карта, раскрашиваемая, грани, вершинно, гипотезу четырех красок для карт, всякая карта 4 -раскрашиваема, Жорданова кривая, жорданова дуга, замкнутая жорданова кривая, жорданова кривая, цикла

Хроматическое число

Рассмотрим задачу: при каких условиях вершины графа можно раскрасить так, чтобы каждое ребро было инцидентно вершинам разного цвета? Нас больше всего интересует вопрос, какие графы можно раскрасить с соблюдением определенных условий, чем вопрос, сколькими способами можно выполнить это раскрашивание.

Пусть граф не имеет петель; тогда называется - раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из цветов таким образом, чтобы никакие две смежные вершины не оказались одного цвета. Если граф является -раскрашиваемым, но не является (k-1) -раскрашиваемым, назовем его - хроматическим, а число назовем хроматическим числом графа и обозначим через $\chi (G)$ . На рисунке изображен 4-хроматический (и, следовательно, -раскрашиваемый граф при $k \ge 4$ ) граф; цвета обозначены греческими буквами.

Для удобства будем предполагать, что все графы не содержат петель. Однако будем допускать существование кратных ребер, так как они не влияют на наши рассуждения.

Ясно, что $\chi(K_{n})=n$ , и, следовательно, легко построить графы со сколь угодно большим хроматическим числом. С другой стороны, нетрудно видеть, что

$\chi (G)=1$

тогда и только тогда, если — вполне несвязный граф, и что

$\chi (G) =2$

тогда и только тогда, если — двудольный граф, отличный от вполне несвязного графа.

Теорема 8.1. Если наибольшая из степеней вершин графа равна $\rho$ , то этот граф $(\rho + 1)$ -раскрашиваем.

Доказательство Проведем индукцию по числу вершин в . Пусть — граф с вершинами; если из него удалить произвольную вершину вместе с инцидентными ей ребрами, то в оставшемся графе будет n-1 вершин, причем степени вершин по-прежнему не превосходят $\rho$ . По предположению индукции этот граф $(\rho+1)$ -раскрашиваем, отсюда получится $(\rho +1)$ -раскладка для , если окрасить вершину цветом, отличным от тех, которыми окрашены смежные с ней вершины, а их не более чем $\rho$ .

Теорема (Брукса). Пусть — простой связный граф, не являющийся полным; если наибольшая из степеней его вершин равна $\rho (\rho \ge 3)$ , то он $\rho$ -раскрашиваем.

Доказательство Проведем индукцию по числу вершин графа . Предположим, что имеет вершин. Если при этом степень какой-нибудь его вершины меньше $\rho$ , дальше можно рассуждать, как в доказательстве теоремы 1, и все будет закончено. Поэтому без потери общности можно считать граф регулярным степени $\rho$ .

Выберем произвольную вершину и удалим ее, вместе с инцидентными ей ребрами. Останется граф с n-1 вершинами, в котором наибольшая из степеней вершин не превосходит $\rho$ . По предположению индукции этот граф $\rho$ -раскрашиваем. Теперь окрасим вершину в один из имеющихся $\rho$ цветов. Как и раньше, считаем, что смежные с вершины $v_{1} \dts v_{\rho}$ расположены вокруг по часовой стрелке и окрашены в различные цвета $A_{1},c_{2} \dts c_{\rho}$ .

Определяя подграфы $H_{ij} (i\ne j,1\le i,j\le \rho )$ , когда $v_{i},v_{j}$ лежат в разных компонентах графа $H_{ij}.$ Таким образом, можно считать, что при любых данных i,j вершины $v_{i},v_{j}$ связаны простой цепью, целиком лежащей в $H_{ij}$ . Обозначим компоненту графа $H_{ij}$ , содержащую вершины $v_{i},v_{j}$ , через $C_{ij}$ .

Ясно, что если вершина $v_{i}$ — смежная более чем с одной вершиной цвета $c_{j}$ , то существует цвет, отличный от $c_{i}$ , не приписанный никакой из вершин, смежных с $v_{i}$ . Тогда вершину $v_{i}$ можно окрасить в этот цвет, что, в свою очередь, позволит окрасить вершину в цвет $c_{i}$ и закончить на этом доказательство теоремы. Если этот случай не имеет места, то используем аналогичное рассуждение, чтобы показать, что каждая вершина из $C_{ij}$ (отличная от $v_{i}$ и от $v_{j}$ ) должна иметь степень 2. Предположим, что — первая вершина простой цепи из $v_{i}$ в $v_{j}$ , которая имеет степень больше 2; тогда можно перекрасить в цвет, отличный от $c_{i}$ или $c_{j}$ , нарушая тем самым свойство, что $v_{i}$ и $v_{j}$ связаны простой цепью, целиком лежащей в $C_{ij}$ . Поэтому мы можем считать, что для любых и компонента $C_{ij}$ состоит только из простой цепи, соединяющей вершину $v_{i}$ с $v_{j}$ .

Заметим теперь, что две простые цепи вида $C_{ij}$ и $C_{jl}$ , где $i\ne l$ , можно считать пересекающимися только в вершине $v_{j}$ , так как если — другая точка пересечения, то ее можно перекрасить в цвет, отличный от $c_{i}$ или $c_{j}$ , или $c_{l}$ , а это противоречит факту, что $v_{i}, v_{j}$ связаны простой цепью.

Для завершения доказательства выберем (если это возможно) две несмежные вершины $v_{i},v_{j}$ и допустим, что — вершина цвета $c_{j}$ , смежная с $v_{i}$ . Поскольку $C_{il}$ — простая цепь (для любого $l\ne j$ ), можно поменять между собой цвета вершин в этой цепи, не затрагивая раскраску остальной части графа. Но это приводит к противоречию, потому что тогда будет общей вершиной простых цепей $C_{ij}$ и $C_{jl}$ . Отсюда следует, что нельзя выбрать две вершины $v_{i}$ и $v_{j}$ несмежными, и поэтому должен быть полным графом $K_{\rho +1}$ . А так как это не допускается условием теоремы, то все возможные случаи рассмотрены.