Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них. |
Предельный переход и непрерывность
Для вычисления таких пределов необходимо преобразовать (раскрыть) неопределенность так, чтобы ее предел уже не давал неопределенность.
Пример.Раскроем некоторые неопределенности:
1.
![\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty} \frac
{3x^3+x^2-1}{5x^3+6x^2+x+2} =
\lim\limits_{x\to \infty} \frac {3+\frac 1x-\frac {1}{x^3}} {5+\frac
6x+\frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} } =\\
\newline=
\frac {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(3+\frac 1x-\frac {1}{x^3} \Bigr)}
{\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(5+\frac 6x+
\frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} \Bigr)} =
\frac {3+0-0}{5+0+0+0} =\frac 35.](/sites/default/files/tex_cache/1232f59bd9be067d64a81a0e436cef76.png)
2.
![\displaystyle \lim\limits_{x\to 3} \frac {x^2-4x+3}{x^2-9} =
\lim\limits_{x\to 3}
\frac {x-1}{x+3} =\frac 26=\frac 13.](/sites/default/files/tex_cache/e0deaac55bf4045d0f3455c0fd6c909a.png)
3.
![\displaystyle \lim\limits_{x\to 1} \frac
{x-1}{\sqrt{x+3}-2} =
\lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}
{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)} =\\
\newline= \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1} =
\lim\limits_{x\to 1} (\sqrt{x+3}+2) =4.](/sites/default/files/tex_cache/9279f954897dbf78d9862d89266eaf57.png)
Теорема.Если - бесконечно малая величина при
, то справедливы следующие соотношения эквивалентности:
![\sin y\sim y, \\
\tg y \sim y, \\
\arcsin y \sim y, \\
\arctg y \sim y, \\
1-\cos y \sim y^2/2, \\
\log_a(1+y) \sim y, \\
a^y-1\sim y \ln a, \\
(1+y)^n -1 \sim ny, \\
\sqrt[n]{1+y}-1 \sim y/n.](/sites/default/files/tex_cache/9c2bb57fed5b478d7692992fb0c71ff6.png)
Пример. В частности, используя 7-е и 9-е соотношения, вычислим
Перейдем к функциям многих переменных, ограничиваясь двумя переменными: z=f(x,y).
Последовательность точек M1(x1,y1), M2(x2,y2), ..., Mn(xn,yn), ... сходится к точке M0(x0,y0), если для каждой точки Mn расстояние ее до точки M0 стремится к нулю при :
.
Пример.Рассмотрим пределы, вычисляемые непосредственной подстановкой координат предельной точки: . Наоборот, функция
при
не имеет предела. Действительно, если выбрать последовательность точек {Mi} = {(x1,0), (x2,0), ..., (xn,0)}, то
![\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n^2-y^2_n}{x^2_n+y^2_n} =
\lim _{n\to \infty} \frac {x^2_n}{x^2_n} =1.](/sites/default/files/tex_cache/17c0d30e34eef232c8dc75a6e932adfe.png)
![\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {0-y^2_n}{0+y^2_n} =-1.](/sites/default/files/tex_cache/3910db547a908ebd708d6f019de6af63.png)
Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D(f) и областью изменения E(f). Возьмем произвольную точку и приращение аргумента - число
, такое, что
. Приращение функции в точке x0 будет равно (см. рис. 7.3):
![\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).](/sites/default/files/tex_cache/6688c399e1ea8285d41f3648d99c7e8c.png)
Дадим некоторые определения предела функции (различающиеся своими подходами).
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если из
следует, что
, то есть бесконечно малым приращениям
аргумента x соответствуют бесконечно малые приращения
функции f(x) .
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если
![\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta >0\,: \quad
|\Delta x|=|x-x_0|<\delta \ \implies \ |\Delta y|=| f(x)-f(x_0)|<\varepsilon](/sites/default/files/tex_cache/41996234dcaa10b6bff13af40725f262.png)
Сравнивая это определение с определением предела функции f(x) при , заключаем, что можно дать эквивалентное третье определение непрерывной функции.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если
.
Функция, непрерывная в каждой точке , называется непрерывной на всем множестве X .
Пример.Функция y=x2 непрерывна в каждой точке , поскольку
и если
, то
.
Если функция y=f(x) в точке x0 не является непрерывной, то точка x=x0 называется точкой разрыва функции .
Разрыв у функции может быть по двум причинам:
- Точка
и поэтому f(x0),
не определены, или
.
- Из того, что
, не следует, что
.
Пример.Пусть . Точка x0=0 - точка разрыва, так как
. Функция
![\begin{cases}
x, & x\le 0, \\
x+1, & x>0
\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/f30528173a13d020c4149c0bd5c070f2.png)
![\Delta x>0](/sites/default/files/tex_cache/09198a3c06e1a4d81cf9a581a34cb023.png)
![\Delta x<0](/sites/default/files/tex_cache/a0d5ad1d7751f4d7c52917d5f1cb54e2.png)
Теорема Вейерштрасса.Функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке свое наибольшее (M) и наименьшее (m) значения.
Доказательства (строгого) этой теоремы мы не приводим. Ее суть очевидна геометрически: если график - непрерывная линия на отрезке, на этой линии есть хотя бы одна наиболее "высокая" и наиболее "низкая" точка.
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y).
Приращением функции z=f(x,y) по переменной x называется разность вида: , а приращением по y -
. Приращение ( полное приращение ) функции - это
.
Непрерывное и дискретное не существуют друг без друга, переходят друг в друга, взаимно дополняют и взаимно обогащают друг друга. Дискретность невозможна без непрерывности при каких-то условиях. Непрерывность реализуется через дискретность.
Пример.Непрерывность функции определяется через дискретность - приращения аргумента и значения функции. Приращения функции невозможно рассматривать ни на одном промежутке изменения аргумента, не допустив непрерывности функции на этом промежутке.
Ниже мы рассмотрим и другие примеры непрерывного и дискретного, их взаимодействия и взаимообогащения.