НОУ ИНТУИТ | Введение в математику. Лекция 7: Предельный переход и непрерывность

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.04.2007 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Кабардино-Балкарский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 124 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: рассматриваются основные математические понятия и факты, связанные с предельным переходом и непрерывностью, бесконечно малыми и бесконечно большими, замечательными пределами, неопределенностью.

Ключевые слова: число Фибоначчи, График числовой последовательности, возрастающей, убывающей, не возрастающей, не убывающей, монотонными, Рядом, Бесконечная последовательность, функциональный ряд, членами, общим членом, Гармонический ряд чисел, числовой функцией, определение, сумма ряда, сверху, снизу, ограничена, пределом числовой последовательности, сходится, расходящейся, сходимость, значение, неравенство, предел функции, окрестность, функция, пределом функции, пределом в бесконечно удаленной точке, бесконечно малой, бесконечно большой, предел, иррациональное число, экспонента, натуральные логарифмы, процентная ставка, Первым замечательным пределом, Второй замечательный предел, натуральное число, основание, числитель, неопределенностями, бесконечно малая величина, расстояние, область определения, приращение аргумента, приращение функции, непрерывной в точке, непрерывной на всем множестве, точкой разрыва функции, график, Приращением, Приращение, полное приращение

Предельный переход и непрерывность

Пусть дана некоторая последовательность перенумерованных чисел x₁, x₂,..., x_n,..., которую обозначим коротко $\{x_n\}^\infty_{n=1}$ или {x_n}. Эту последовательность можно записать как функцию от номера n: x_n=f(n), $n\in\ N$ или x₁=f(1), x₂=f(2),..., x_n=f(n),....

Любая последовательность будет задана, если будет указано правило образования ее членов. Последовательность, как правило, задается формулами вида x_n=f(n) или x_n=f(x_n-1), x_n=f(x_n-1, x_n-2) и т.д., где $n\in\ N$ .

Пример.Последовательность 2, 4, 8, 16, ... задана формулой x_n=2ⁿ ; геометрическая прогрессия a₁, a₂,..., a_n, ... может быть определена формулой a_n=a₁q^n-1 или a_n=a_n-1q ; числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... определяются формулами x_n=x_n-1+x_n-2, n=3, 4, ..., x₁=1, x₂=1.

График числовой последовательности {x_n} образуется множеством точек M_n(n;f(n)) на плоскости nOx, то есть график числовой последовательности состоит из дискретных точек.

Последовательность {x_n} называется возрастающей, если выполнено условие вида $\forall n = 1,2 ,\dotsc \,:\ \ x_n<x_{n+1}$ .

Последовательность {x_n} называется убывающей, если выполнено условие вида $\forall n = 1,2 ,\dotsc \,:\ \ x_n>x_{n+1}$ .

Последовательность {x_n} называется не возрастающей, если выполнено условие вида $\forall n = 1{,}2 ,\dotsc \,:\ \ x_n\ge x_{n+1}$ .

Последовательность {x_n} называется не убывающей, если выполнено условие вида: $\forall n = 1{,}2 ,\dotsc \,:\ \ x_n\le x_{n+1}$ .

Такие последовательности называются монотонными. Остальные последовательности - не монотонные.

Рядом называется бесконечная последовательность каких-либо объектов одинаковой природы.

Пример.Ряд из чисел - числовой ряд. Ряд из функций - функциональный ряд.

Порядок следования элементов ряда - существенен. Поменяв порядок, из тех же элементов получим другой ряд.

Нас здесь интересует лишь числовой ряд и его сумма, записываемая пока формально (не конструктивно, не формализованно), то есть сумма всех членов некоторой бесконечной числовой последовательности u₁, u₂,..., u_n,..., или u₁+u₂+...+u_n+.... Этот ряд можно записать компактно в виде

$\sum^\infty_{n=1} u_n.$

Знак $\sum$ - знак "сигма" или знак суммы, последовательного суммирования всех элементов u_n от нижнего предела n=1 (указывается внизу, может быть как любым конечным, так и отрицательной бесконечностью) до верхнего предела $n=\infty$ (указывается вверху, может быть любым числом, большим или равным нижнему пределу, а также положительной бесконечностью).

Числа u_n (n=1, 2, ...) называются членами ряда, а u_n - общим членом ряда.

Пример.В школьном курсе математики дается геометрическая бесконечно убывающая прогрессия a=aq+aq²+...+aq^n-1+..., |q|<1, u₁=a, u₂=aq, ..., u_n= aq^n-1. Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q).

Пример. Гармонический ряд чисел - ряд вида: $1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\dotsc + \smash[t]{\frac 1n} + \dotsc$ . Ниже мы рассмотрим его более детально.

Числовой ряд будет считаться заданным, то есть каждый его элемент будет определен однозначно, если указано правило нахождения его общего члена или дана некоторая числовая функция натурального аргумента $f:n\to u_n$ , или u_n=f(n).

Пример.Если $u_n=\frac {n}{n+1}$ , то задан ряд $\frac 12+\frac 23+\frac 34+\dotsc + \frac {n}{n+1} +\dotsc$ , или в компактной записи:

$\sum^\infty_{n=1} \frac {n}{n+1}.$

Если задан гармонический ряд чисел, то его общий член можно записать в виде $u_n=\frac 1n$ , а сам ряд - в виде

$\sum^\infty_{n=1} \frac 1n.$

Дадим определение конечной суммы ряда и последовательности таких конечных сумм.

Конечная сумма n первых членов ряда называется его n -ой частичной суммой и обозначается через S_n:

$S_n=u_1+u_2+\dotsc+u_n = \sum^{n}_{i=1} u_i.$

Эта сумма находится по обычным правилам суммирования чисел. Таких сумм можно составить бесконечно много, то есть для каждого ряда можно рассматривать ряд, составленный из частичных сумм: S₁, S₂,... , S_n, ... или последовательность частичных сумм, построенных для этого ряда: $\{S_i\}^\infty_{i=1}$ .

Последовательность ${x_n}$ ограничена сверху, если найдется такое общее для всех членов последовательности число M, которого не превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено следующее условие:

$\exists M = const, \quad \forall n\,: \ \ x_n<M.$

Последовательность чисел ${x_n}$ ограничена снизу, если найдется такое общее для всех членов последовательности число m, которое превосходят все члены последовательности, то есть если выполнено условие:

$\exists m = const, \quad \forall n\,: \ \ x_n>m.$

Последовательность чисел ограничена, если найдутся такие общие для всех членов последовательности числа m и M, которые удовлетворяют условию:

$\exists m,M = const\,:\, \ m<x_n<M \ \ \quad \forall n.$

Число a называется пределом числовой последовательности {x_n}, если существует такое малое число $\varepsilon >0$ , что все члены последовательности, за исключением некоторого конечного числа первых членов, попадают в $\varepsilon$ - окрестность числа a, то есть, в конце концов, сгущаются около точки a . Таким образом, в промежуток $a-\varepsilon <x_n < a +\varepsilon$ должны попасть все точки x_i, i=N₀, N₀+1, N₀+2, ... последовательности. При этом номер N₀ зависит от выбранного числа $\varepsilon$ , то есть $N_0=N_0(\varepsilon )$ (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Иллюстрация зависимости номера от размера окрестности

Математически существование предела последовательности можно записать в виде:

$\forall \varepsilon >0, \ \ \exists N_0\in \mathbb{N}, \ \ \forall n>N_0\,:\ \ |x_n-a|<\varepsilon .$

Этот факт записывают коротко в виде $\lim\limits_{n\to \infty} x_n=a$ или $x_n \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to \infty}} a$ , и говорят, что ${x_n}$ сходится к числу a. Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся .

Из определения предела ${x_n}$ непосредственно следует: если отбросить, добавить или изменить конечное число членов последовательности, то сходимость не нарушается (то есть если сходится исходная последовательность, то сходится и измененная последовательность) и пределы исходной и полученной последовательности будут равны.

Пример.Положим, что $\lim\limits_{n\to \infty} x_n=1$ , где $x_n=\frac {n}{n+1}$ , то есть $\frac 12$ , $\frac 23$ , $\frac 34, \dotsc, \frac {n}{n+1}\to 1$ . Этот факт легко доказывается, но мы пока берем его в качестве доказанного факта. Тогда $\forall \varepsilon >0$ $\exists N_0$ , $\forall n>N_0$ : $1-\Bigl|\frac {n}{n+1}\Bigr| <\varepsilon$ . Найдем значение номера $N_0=N_0(\varepsilon )$ (если такой номер существует). Рассмотрим $|x_n-1| = \Bigl|\frac{n}{n+1}-1\Bigr|=\frac {1}{n+1}$ . Верно следующее соотношение:

$\frac {1}{n+1}<\varepsilon \implies n>\frac {1}{\varepsilon}-1$

Поэтому, если возьмем номер $N_0 > \Bigl|\frac {1}{\varepsilon }-1\Bigr|$ , то неравенство будет выполнено. Например, при значении $\varepsilon =0,01$ , получаем номер N₀=99, то есть $\forall n>N_0=99$ , |x_n-1|<0,01. Чем меньше значение $\varepsilon$ - тем больше значение N₀. Например, если $\varepsilon =0,001$ , то N₀=999.

Дадим теперь два эквивалентных определения предела функции: с помощью предела последовательности и с помощью соответствия малых окрестностей аргумента и значения функции. Из выполнимости одного определения следует выполнимость другого. Пусть функция y=f(x) определена $\forall x\in X=D(f)$ , кроме, может быть, точки x=x₀, которая является предельной точкой D(f). В этой точке функция может быть не задана (не определена) или может иметь разрыв.

Число a называется пределом функции f(x) при $x\to x_0$ , если верно условие

$\forall \{x_n\}, \ \ x_n \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{n\to\infty}} x_0, \ \ x_n\ne x_0, \ \ \lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\ \implies \ \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=a.$

Это означает, что если последовательность {x_n} стремится к x₀, то последовательность значений функций {f(x_n)} стремится к a.

Число a называется пределом функции f(x) при $x\to x_0$ , если верно условие

$\forall\varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\,:\ \ |x-x_0|<\delta \ \implies \ |f(x)-a|<\varepsilon ,\ \ \forall x\in X.$

Таким образом, можно записать условие вида

$\forall\varepsilon >0, \ \ \exists \delta >0, \ \ \forall x\in D(f), \ x\ne x_0\,: \\ x_0-\delta <x<x_0+\delta \ \implies \ a-\varepsilon <f(x)<a+\varepsilon .$

Это означает, если точка x берется из некоторой окрестности точки x₀, то значение функции f(x) оказывается в некоторой окрестности точки a (см. рис. 7.2).

Записывают факт существования предела функции в точке в виде $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a$ или $f(x) \mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits^{x\to x_0}} a$ .