Комбинаторика и числовые системы

Комбинаторика и числовые системы

Индукция, индуктивный метод - это метод получения общего заключения (вывода) на основании частных, отдельных фактов, свойств изучаемой системы, процесса. Если общий вывод делается только после рассмотрения всех охватываемых им частных случаев, то индукция называется полной, иначе она называется неполной.

Математическая индукция - один из древнейших методов доказательства утверждений. Некоторые историки математики предлагают начинать отсчет в истории математики именно с зарождения метода математической индукции. Он базируется на следующем простом и достаточно наглядном принципе (который часто называется аксиомой математической индукции).

Обозначим доказываемое утверждение, зависящее от натурального параметра n, через A(n).

Пусть доказываемое утверждение A(n) проверено для частного значения, например, для n=1, то есть начальное утверждение A(1) - справедливое утверждение. Если предположить, что утверждение справедливо при каком-то значении n-1 (то есть справедливо утверждение A(n-1) ), то отсюда следует, что это утверждение справедливо и для любого n (то есть справедливо и утверждение A(n) ).

Для применения метода математической индукции не обязательно проверять факт именно для случая n=1. Достаточно проверить для какого-то фиксированного значения n=n₀, например, для n=2.

Рекурсия, рекуррентность - это ссылка определяемого объекта (при каком-то значении определяющего параметра) на самого себя (при другом значении этого параметра или при других значениях параметров).

Такие ссылки часто используются как в математике, так и, например, в информатике.

Комбинаторика - раздел математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные комбинации, соединения элементов множеств (а также и подмножеств) и их свойства.

Одной из важных классических задач комбинаторики является задача нахождения количества способов размещения какого-то числа заданных объектов в некотором заданном количестве мест ("ящиков") таким образом, чтобы они удовлетворяли при этом некоторым заданным условиям (ограничениям).

Строгая математическая формулировка класса задач размещения такова: для данных двух конечных множеств X, Y определить количество функций , удовлетворяющих заданным ограничениям на мощности множеств. Часто используется и такая интерпретация постановки задачи размещения: сколько существует способов покраски объектов X различными цветами (набор Y ), чтобы цвета объектов y=f(x) удовлетворяли определенным ограничениям.

Факториалом числа n (обозначается как n!) называется произведение всех натуральных чисел до n включительно: .

Пример. Факториал , .

Из предыдущего примера можно сделать вывод, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Имеет место формула: .

Доказательство. По определению факториала . Подставляя в формулу вместо произведения первых n-1 сомножителей равное ему значение (n-1)!, получим доказываемое. Докажите эту теорему методом математической индукции самостоятельно.

При сравнительно небольших значениях n факториал n! сильно (экспоненциально, то есть со скоростью роста экспоненты при росте ее аргумента) растет.

Пример. Факториал 10!=3628800! (последний восклицательный знак - восклицательный из-за его большого значения, а не знак факториала).

При вычислении выражений с факториалами можно эффективно сокращать.

Пример. Вычислим .

Размещение из n элементов по k элементов - всякое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов множества из n элементов. Два размещения отличны друг от друга, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком элементов. Число различных размещений из n элементов по k элементов обозначается символом .

Пример. Размещение .

Теорема. Число различных размещений из n элементов по k равно

Размещение n элементов по n элементов называется перестановкой .

Теорема. Число различных перестановок равно P_n=n!.

Подстановкой ( n -ой степени) из n элементов называется взаимно однозначное отображение множества из n символов на себя. Обычно элементы этого множества нумеруются и отождествляются с n числами натурального ряда чисел.

Пример. Вместо подстановки - отображения элементов множества X={a, b, c, g}, - говорят об отображении множества {1, 2, 3, 4} и обозначают эту подстановку как

Умножение подстановок - операция, которая ставит в соответствие упорядоченной паре подстановок n -ой степени A и B третью подстановку C той же степени по правилу:

Часто бывает необходимо найти число всех подмножеств, состоящих из m элементов, каждое из которых можно составить из n элементов данного множества. Это число равно и называется сочетанием из n элементов по m элементов.

Теорема. Верны равенства , .

Пример. Найдем число .

Рассмотрим известные формулы

(a+b)1 = a+b , 
 (a+b)2 = a2+2ab+b2, 
 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3.

Аналогично можно вычислять остальные степени, но мы вместо продолжения такой последовательности формул сформулируем общую теорему о них.

Теорема. Справедлива формула (бинома Ньютона):

Эту теорему можно доказать методом математической индукции. Это Ваша непростая и самостоятельная работа.

Используя эти числа , можно записать бином Ньютона: .

Коэффициент называется биномиальным коэффициентом.

Теорема. Справедливы формулы для биномиальных коэффициентов:

1. - свойство суммы биномиальных коэффициентов;
2. - свойство симметрии;
3. - свойство сложения.

Доказательство. Докажем первое равенство. Если в формуле бинома Ньютона положить a=b=1, то непосредственно получаем это равенство. Докажем второе равенство. Так как

Выше мы уже использовали обозначение для суммы чисел x₁+x₂+...+x_n.

Иногда нижний предел суммирования снабжают условием - "ограничителем" суммируемых членов этой последовательности.

Пример. Если нужно суммировать только числа на четных местах до n, то можно использовать одно из следующих обозначений (лучшее - первое):

Здесь [n/2] - целая часть от числа половины числа n.

Эффективное вычисление суммы - интересная и непростая задача математики. Эффективность вычисления суммы обычно сводится к количеству выполненных при этом арифметических операций. Существуют разные методы вычисления различных видов (типов) сумм, но для каждого вида суммы нужно находить свой эффективный способ.

Пример. Когда Гаусса в десятилетнем возрасте учитель решил, как он предполагал, занять надолго подсчетом суммы S_n=1+2+3+...+n, то будущий математик додумался до уловки, на которой базируется теперь вычисление суммы арифметической прогрессии: S_n + S_n = (1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n) + (n + n-1 + n-2 + ... + 2 + 1) = = (1 + n) + (2 + n-1) + (3 + n-2) + ... + (n-1 + 2) + (n + 1) = = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) = (1 + n)n. Отсюда получаем известную формулу суммы членов арифметической прогрессии: S_n=(n+1)n/2.