Lecture
Задания
Задание 1. Указатели
Решите уравнение указанным в варианте методом. Функцию передать как параметр с помощью указателя.
Численные методы решения уравнений
Довольно часто на практике приходится решать уравнения вида: \[ F(x)=0 \] где функция \[ F(x) \] определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале \[ \alpha < x < \beta \]
Всякое значение \[ \overline{x} \] такое, что \[ F(\overline{x})\equiv 0 \] , называется корнем уравнения, а нахождение этого значения и есть решение уравнения.
На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Поэтому важное значение приобрели численные методы, позволяющие найти приближенное значение корня. Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет компьютер.
Существует множество численных методов решения уравнений вида (1). Рассмотрим только три из них:
Метод итераций
Представим уравнение \[ F(x)=0 \] в виде: \[ x=f(x) \]
Это уравнение получается выделением \[ x \] из уравнения \[ F(x) \] и переносом того, что осталось, т.е. \[ f(x) \] , в левую часть уравнения. Иначе можно получить уравнение (2) следующим способом: левую и правую часть уравнения (1) умножить на произвольную константу \[ \lambda \] и прибавить к левой и правой части \[ x \] , т.е. получаем уравнение вида: \[ x=x+\lambda F(x) \] где \[ f(x)=x+\lambda F(x) \] .
На заданном отрезке \[ [a; b] \] выберем точку \[ х_0 \] – нулевое приближение – и найдем \[ x_1=f(x_0), \] потом найдем: \[ x_2=f(x_1), \]
Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к последовательному вычислению чисел: \[ x_n=f(x_{n-1})\quad n=1,2,3 \ldots . \] Этот процесс называется методом итераций.
Если на отрезке \[ [a; b] \] выполнено условие: \[ |f'(x_0)|\leq q<1, \] то процесс итераций сходится, т.е. \[ \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\overline{x} \]
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока \[ |x_n-x_{n-1}|\leq\varepsilon, \] где – \[ \varepsilon \] заданная абсолютная погрешность корня \[ x \] . При этом будет выполняться: \[ |\overline{x}-x_n|\leq\varepsilon, \]
Метод Ньютона
Пусть уравнение \[ F(x)=0 \] имеет один корень на отрезке \[ [a; b] \] , причем \[ F'(x) \] и \[ F''(x) \] определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке \[ [a; b] \] .
Выберем на отрезке \[ [a; b] \] произвольную точку \[ х_0 \] – нулевое приближение. Затем найдем: \[ x_1=x_0-\frac{F(x_0)}{F'(x_0)} \] потом \[ x_2=x_1-\frac{F(x_1)}{F'(x_1)} \]
Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к вычислению чисел \[ x_n \] по формуле: \[ x_n=x_{n-1}-\frac{F(x_{n-1})}{F'(x_{n-1})},\quad n=1,2,3\ldots \]
Этот процесс называется методом Ньютона.
Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие: \[ |x_n-x_{n-1}|\leq\varepsilon, \] где – \[ \varepsilon \] заданная абсолютная погрешность корня \[ x \] .
Точку \[ х_0 \] необходимо выбирать так, чтобы выполнялось условие: \[ F(x_0)\dot F'(x_0)>0, \] иначе метод не будет сходиться.
Метод половинного деления
Пусть уравнение \[ F(x_0) \] имеет один корень на отрезке \[ [a, b] \] . Функция непрерывна на отрезке \[ [a, b] \] .
Метод половинного деления заключается в следующем:
Сначала выбираем начальное приближение, деля отрезок пополам, т.е. \[ x_0=(a+b)/2. \]
Если \[ F(x_0)=0 \] , то \[ x_0 \] является корнем уравнения. Если \[ F(x_0)\neq 0, \] то выбираем тот из отрезков, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и выполняем действия сначала и т.д.
Процесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданной точности \[ \varepsilon \] , т.е. пока не будет выполняться условие: \[ |x_n-x_{n-1}|\leq\varepsilon. \]
Варианты задания