Квантовое преобразование Фурье
При обсуждении квантовой реализации классических вычислений, мы ввели несколько стандартных трансформаций, действующих на пространстве кубитов. Эти квантовые элементы RAND, RОR, NОТ и СNОТ представляют трансформации специального вида - все они просто переставляют базисные вектора. Чтобы добиться полной мощности квантового компьютера, необходимо сделать следующий шаг и ввести более общие операции в пространстве 1- и 2-кубита.
Первая трансформация, которую мы введем, называется трансформацией Адамара. Она действует в пространстве 1-кубита и определена следующим образом:
Второе стандартное семейство квантовых элементов - это трансформации поворотов в пространстве 1 -кубита:
Трансформация Адамара и семейство поворотов образуют ортогональную группу О(2) - каждая ортогональная трансформация в пространстве 1 -кубита является либо поворотом, либо произведением поворота и трансформации Адамара.
Последней стандартной квантовой трансформацией является семейство управляемых поворотов . Это семейство действует в пространстве 2-кубита и определено следующим образом:
Поворот применяется ко второму квантовому биту, но это поворот, управляемый значением первого квантового бита. Если первый бит имеет значение 1, поворот применяется, если 0- не применяется.
В стандартном базисе 2-кубит пространства матрица этой трансформации имеет вид:
Перейдем к определению квантового преобразования Фурье (КПФ).
В классическом ДПФ входом является вектор измерений , выходом - вектор коэффициентов Фурье . КПФ делает аналогичную вещь, - только входом и выходом являются п-кубиты:
Здесь - бинарное представление целого k. Справа от стрелки удобнее писать биты р в обратном порядке: , представленных как . Так как коэффициенты пишутся первыми в последовательности преобразования Фурье, то значение ведущего бита для них равно 0, а для коэффициентов .
Цель этой главы представить реализацию КПФ, используя стандартные 1-кубит и 2-кубит операции.
Эта реализация построена на идеях БПФ. Также как БПФ, КПФ является рекурсивным алгоритмом. Это означает, что мы будем использовать КПФ для (n - 1)-кубита при построении КПФ для n-кубитов.
Перечислим вначале 6 шагов реализации КПФ, а затем обсудим каждый шаг в деталях. Замечательное свойство КПФ в том, что оно не требует никакой дополнительной памяти.
Квантовое преобразование Фурье:
Шаг 1. Применить КПФ к первым n - 1 битам входа из n кубитов.
Шаг 2. Применить трансформацию Адамара к последнему биту входа.
Шаг З. Применить СNOТ к последнему биту, управляемую предпоследним битом.
Шаг 4. Применить к предпоследнему биту последовательность поворотов, управляемых предыдущими битами.
Шаг 5. Применить СNОТ к предпоследнему биту, управляемую последним битом.
Шаг 6. Применить СNOТ к первым n - 2 битам, управляемую предпоследним битом.
Начнем со входа, заданного п-кубитом:
Далее, следуя идеям БПФ, расщепим последовательность f на две последовательности g и h, соответствующие для g четным значениям k, для h -нечетным. После этих изменений в нотации наш входной кубит записывается так:
Выполним Шаг 1 нашей процедуры, применяя КПФ к левым n -1 битам. Результат этой операции таков: