Ортогональные линейные трансформации
Квантовый алгоритм является линейной трансформацией в пространстве кубитов, но эта трансформация специального вида - ортогональная линейная трансформация.
Определение. Линейная трансформация Т в векторном пространстве 
называется ортогональной, если образы базисных векторов 
ортогональны друг другу и все они имеют единичную длину
Определение. Множество из N взаимно ортогональных векторов длины 1 в называется ортонормальным базисом .
Матрица ортогональной трансформации называется ортогональной матрицей.
Главные свойства ортогональных матриц: скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно нулю; скалярное произведение любого столбца с самим собой равно единице. Эти свойства непосредственно следуют из определения ортогональных матриц.
Давайте рассмотрим несколько примеров ортогональных трансформаций:
-
Поворот в
на угол 
. Из геометрии ясно, что вектора 
и 
являются единичными векторами и ортогональны друг другу Нетрудно проверить, что и скалярные произведения столбцов матрицы 
( удовлетворяют всем указанным свойствам:
- Отражение в относительно линии, проходящей через начало координат. Эта трансформация является ортогональной, поскольку зеркальное отражение сохраняет длину вектора и углы между векторами.
- Поворот в
на угол 
а вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.
Фактически можно показать, что любая ортогональная трансформация в представляет собой либо поворот, либо отражение, как в выше приведенных примерах 1-2. Приведем некоторые аргументы в пользу этого утверждения. Пусть Т - ортогональная трансформация в и пусть 
. Так как Т - ортогональна, то 
и 
- единичные вектора, ортогональные друг другу Все единичные вектора на плоскости могут быть получены друг из друга в результате поворота на некоторый угол. Предположим, что получено поворотом 
на угол против часовой стрелки.
Тогда:
Так как вектор перпендикулярен , то существуют лишь две возможности получения из путем поворота - повернуть на 
против часовой стрелки, либо по часовой стрелке:
В первом случае Т - это поворот с матрицей, записанной выше, во-втором случае - поворот с матрицей:
Далее мы собираемся установить несколько свойств ортогональных трансформаций.
Теорема. Линейная трансформация Т ортогональна, если и только если она сохраняет скалярное произведение:
Доказательство. Предположим, что Т ортогонально. Из определения ортогональной трансформации следует, что утверждение справедливо для базисных векторов: 
. Для доказательства истинности утверждения для произвольных векторов u и v представим их в виде линейной комбинации базисных векторов:
Тогда
Мы заключаем, что Т сохраняет скалярное произведение.
Доказательство в другую сторону следует из того, что если Т сохраняет скалярное произведение, то . Так что Т преобразует базис 
в другой ортонормальный базис. Следовательно, Т - ортогональная трансформация.
Из теоремы следует, что ортогональная трансформация сохраняет длину вектора и углы между векторами, поскольку эти характеристики можно выразить через скалярное произведение.
Заметим также, что скалярное произведение двух векторов может быть выражено, используя длины векторов:
Следовательно, любая линейная трансформация, сохраняющая длины векторов, также сохраняет их скалярное произведение и должна быть ортогональной. Итогом приведенного обсуждения является следующая
Теорема. Следующие четыре утверждения эквивалентны: