Теорема Лагранжа

Случается, что внутри группы есть еще одна группа меньшего размера. Например, внутри диедральной группы множество поворотов является группой. Это пример подгруппы.

Определение. Пусть G - группа. Подмножество Н в G называется подгруппой, если вьшолняются следующие свойства:

1. е принадлежит Н;
2. Для каждого элемента h из Н его обратный элемент также содержится в Н;
3. Для любой пары элементов и из Н их произведение также содержится в Н.

Можно видеть, что множество положительных рациональных чисел представляет подгруппу мультипликативной группы , четные целые числа представляют подгруппу в аддитивной группе Z. Еще одним примером подгруппы является множество {е, Т} в . Множество из одного элемента {е} и само множество G также являются подгруппами для любой группы G.

Множество ортогональных матриц размера N*N формирует подгруппу, обозначаемую О(N), в обобщенной линейной группе GL(N).

Упражнение. Определить все возможные подгруппы в .

Важным классом подгрупп являются циклические подгруппы. Зафиксируем элемент g в группе G. Пусть Н будет множеством всех целых степеней g:

Ясно, что это множество является подгруппой, так как Если группа G конечна, то циклическая подгруппа, генерируемая элементом g не может быть бесконечной и список степеней g будет содержать бесконечно много повторений. Давайте проанализируем структуру подгруппы в этом случае.

Определение. Порядком элемента g в группе G является наименьшее натуральное число n, такое что . Если такового числа не существует, то значение порядка - бесконечность.

Примеры. В группе элемент Т имеет порядок 2, а элемент R - 4. В элемент g = -1 имеет порядок 2, так как , а элемент g = 5 имеет бесконечный порядок, так как никакая положительная степень числа 5 не дает 1.

Утверждение. Пусть G - конечная группа. Тогда любой элемент g в G имеет конечный порядок. Если n - порядок g, то циклическая подгруппа, генерируемая g имеет n элементов:

Доказательство. Так как множество всех степеней должно содержать повторения, то имеет место для некоторых целых . Умножая обе части равенства на , получим: , где r - s - положительное число. Следовательно, g - конечная группа.

Пусть n - порядок G. Тогда , и так далее. Каждая положительная степень g приводится к одному из элементов: Для отрицательных степеней g справедливо , и так далее. Из этого следует справедливость нашего утверждения.

Определение. Группа G называется циклической, если существует элемент g в G, такой что целые степени g исчерпывают G.

Определение. Пусть g - элемент группы G и пусть Н - подгруппа в G. Смежный класс (coset) gH - это множество произведений gh, где h пробегает все значения из Н.

Давайте рассмотрим смежные классы подгруппы в диедральной группе .

Очевидно, что смежный класс еН совпадает с Н. Смежный класс RH также совпадает с Н, поскольку он содержит элементы . Смежный класс . Фактически для любого I смежные классы и смежный класс ТН совпадают. В данном примере можно видеть, что есть только два различных смежных классы: и .

Из принципа Судоку для таблицы умножения следует, что размер любого смежного класса gH равен числу элементов в подгруппе Н.

Утверждение. Пусть Н - подгруппа в группе G. Тогда G - это объединение неперекрывающихся смежных классов.

Доказательство. Необходимо показать, что два различных смежных класса не перекрываются, это значит, что если два смежных класса аН и bН имеют общий элемент с, то классы эквивалентны. В самом деле, если с принадлежит обоим классам, то для некоторых в Н. Тогда . Нам нужно показать, что любой элемент аН содержится в bН и наоборот. Пусть d - элемент аН. Тогда для некоторого в Н, . Так как Н - подгруппа, то содержится в Н, следовательно, d принадлежит смежному классу bН. Аналогично, каждый элемент bН содержится в классе аН, так что аН = bН.

Смежные классы покрывают всю группу, поскольку каждый элемент g принадлежит своему собственному смежному классу gН.

Определение. Число элементов группы G называется порядком группы.

Теорема (Лагранжа). Пусть G - конечная группа.

(а) Порядок любой подгруппы Н в G является делителем порядка G

(b) Порядок любого элемента g в G является делителем порядка G.

Доказательство. Группа G является объединением неперекрывающихся смежных классов подгруппы Н. Поскольку все классы имеют один и тот же размер, то:

Порядок G = Порядок Н * Число смежных классов Н.

Из этого следует справедливость утверждения части (а) нашей теоремы.

Для доказательства части (b) заметим, что каждый элемент g генерирует циклическую подгруппу, чей порядок эквивалентен порядку элемента g, а это значит, что (b) следует из (а).

Следствие. Пусть G - группа порядка n и пусть g - элемент G. Тогда .

Доказательство. Пусть k - порядок g. По теореме Лагранжа n = ks для некоторого s. Тогда