Матрицы
В этой лекции мы собираемся представить введение в алгебру матриц -технику вычислений, применяемую при выполнении линейных трансформаций.
Начнем с определения скалярного произведения в . Скалярное произведение двух векторов в
- это число, определяемое следующим образом:
![\begin{pmatrix}a_1\\a_2 \\ \dots \\a_N \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\ \dots \\b_N \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_Nb_N](/sites/default/files/tex_cache/43bcd2a90ed77a38b2c91bc68f274bf6.png)
Скалярное произведение билинейно:
![v*(u+w)=v*u+v*w,\; (v+u)*w=v*w+u*w,\\
v*(cw)=(cv)*w=c(v*w)](/sites/default/files/tex_cache/753f032c42a3540d1d48279563772c93.png)
и симметрично: v*w = w * v.
Еще одно важное свойство скалярного произведения состоит в том, что оно позволяет вычислить длину вектора. Будем обозначать длину вектора v как |v| . Тогда: . Длина вектора называется также его нормой.
На плоскости соотношение для |v| прямое следствие теоремы Пифагора:
Для вектора в трехмерном пространстве теорему Пифагора применяем дважды, вначале для проекция вектора на плоскость XY:
,
получив , затем к вектору v и перпендикулярному вектору
. В результате получаем:
Для установления истинности формулы в
теорему Пифагора следует применить N - 1 раз.
Теорема. Пусть u, v - два вектора в с углом
между ними. Тогда
.
Доказательство. Рассмотрим треугольник, сформированный векторами u, v, u-v. По свойству скалярного произведения:
![|u-v|^2=(u-v)*(u-v)=u*u-u*v-v*u+v*v=|u|^2+|v|^2-2u*v](/sites/default/files/tex_cache/37073c704ece83770e4cc6e809cecaaa.png)
С другой стороны по теореме косинусов:
![|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v|\cos \alpha](/sites/default/files/tex_cache/096110870fb00cf2596c0e07aba64141.png)
Из сравнения этих формул следует истинность утверждения теоремы.
Следствие. Два вектора в перпендикулярны друг другу если и только если их скалярное произведение равно нулю.
Определение. Матрица линейной трансформации Т векторного пространства - это квадратная таблица N * N из N строк и N столбцов, содержащих числа, сформированная векторами
, представляющих столбцы матрицы.
Пример. Пусть Т - поворот на против часовой стрелки. Тогда:
![T(e_1)= \begin{pmatrix}\cos 30\circ \\ \sin 30\circ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt 3/2\\ 1/2 \end{pmatrix},\; T(e_2)= \begin{pmatrix}-\sin 30\circ \\ \cos 30 \circ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1/2\\ \sqrt3/2 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/135b626be4df0f0d97ca0eca84e43304.png)
Матрица, задающая Т, имеет вид:
![\begin{pmatrix} \sqrt3/2&-1/2\\1/2& \sqrt3/2 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/111de75f7cdc21accd49191189327b8e.png)
В общем случае матрица трансформации, задающая на плоскости поворот против часовой стрелки на угол , имеет вид:
![R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin \alpha\\ \sin \alpha& \cos \alpha \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/cc61649606464cf29056334bc60b883b.png)
Как мы видели в предьцдущей главе, линейная трансформация определяется трансформациями базисных векторов. Следовательно, в матрице линейной трансформации содержится вся информация о трансформации.
Теперь мы определим операцию умножения матрицы на вектор из .
Определение. Произведение Аv квадратной матрицы А размера N * N на вектор v из - это вектор в
, k-ая компонента которого представляет скалярное произведение k-й строки матрицы А на вектор v.
Теорема. Пусть Т-линейная трансформация в , определяемая матрицей А, тогда результат применения Т к вектору v эквивалентен произведению Аv.
Мы не станем рассматривать формальное доказательство, а рассмотрим пример. Пусть Т - линейная трансформация в , определяемая матрицей А:
![A=\begin{pmatrix}1&2 \\3&4 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/b1469c1b1dc60be8c8eb1fccb9eecca3.png)
![Av=\begin{pmatrix}1&2 \\3&4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*5+2*6\\3*5+4*6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17\\ 39\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/8669592d39099cc194940f9f3aca8998.png)
Результат применения трансформации Т к вектору v:
![T(v)=T(5e_1+6e_2)=5T(e_1)+6T(e_2)\\
=5 \begin{pmatrix}1\\3 \end{pmatrix}+6 \begin{pmatrix}2\\4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5*1+6*2\\5*3+6*4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}17\\39 \end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/bc41cb3ff934087a38580483be8f7d43.png)
Нетрудно видеть, что эти вычисления остаются справедливыми в общем случае для любых матриц размера N * N и векторов v из .
Упражнение. Пусть Т - отражение плоскости относительно прямой у = 2х. Найти матрицу, задающую трансформацию Т.
Решение. Для формирования матрицы необходимо найти и
. Покажем на этом примере, как это можно сделать. Выберем два вектора, для которых трансформация Т известна. Для вектора
, поскольку точка (1,2) принадлежит прямой у = 2х. Для вектора
, поскольку скалярное произведение векторов
и
равно 0, следовательно, вектора
и
перпендикулярны.