Приведенная ценность финансовой ренты
7.3.3 Рента с непрерывным начислением процентов
Ещё раз отметим, что ренты с непрерывным начислением процентов широко применяются в Годовая рента
Применяя формулы из лекции 3 и 6, получаем:
![PV=Se^{-\delta n}=R\,\frac{e^{\delta n}-1}{e^{\delta}-1}
e^{-\delta n}=
R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}.](/sites/default/files/tex_cache/dbf9fc9a442727364457900505311c9d.png)
Итак, приведённая ценность ренты равна:
![PV=R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}\,\,\, (7.8)](/sites/default/files/tex_cache/3865efb8a9a00a98bcae1bc4fcdd8188.png)
-срочная рента
Применяя формулы из лекций 3 и 6, получаем:
![PV = Se^{-\delta n}=\frac{R}{p}\times\frac{e^{\delta n}-1}{e^{{\delta\over p}}-1}%
\times e^{-\delta n}=
\frac{R}{p}\times\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{{\delta\over p}}-1}](/sites/default/files/tex_cache/6058948f99ae715f7a3cb9a38b27ae42.png)
Таким образом, приведённая ценность ренты равна:
![PV=\frac{R}{p}\times\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{{\delta\over p}}-1}\,\,\, (7.9)](/sites/default/files/tex_cache/5c8c25e4980273cb664fb9eda0ada041.png)
Рассмотрим примеры, при решении которых используются выведенные выше формулы.
Пример 63. Какую сумму необходимо положить в начальный момент в банк, чтобы иметь возможность в течение следующих 5 лет ежегодно снимать со счета 50 000 руб., исчерпав счет полностью к концу срока. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке: а) годовой , б)
, в) непрерывной
?
Решение. Во всех случаях требуется найти приведённую ценность годовой ренты. В случае а) проценты начисляются в конце года. Применяем формулу (7.6):
![PV=Ra_{n;\,i}=50\,000\, a_{5;\,8\%}.](/sites/default/files/tex_cache/f3988b84dde29de489f62ae81d2380e2.png)
Вычисляем, что и подставляем в формулу:
![PV=50\,000\times 3.9927=199\,635\mbox{ руб.}](/sites/default/files/tex_cache/768db9ce583decef551e4e764c89aac0.png)
б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Применяем формулу (7.9) при :
![PV=R\,\frac{a_{nm;\,{j_{m}\over m}}}{s_{m;\,{j_{m}\over m}}}=%
50\,000\,\frac{a_{20;\,2\%}}{s_{4;\,2\%}}.](/sites/default/files/tex_cache/598c685cc7a1829dcc64c969364cbb28.png)
По формулам находим значения:
![a_{20;\,2\%}=\frac{1-(1+0.02)^{-20}}{0.02}=16.3514 ,\\
s_{4;\,2\%}=\frac{(1+0.02)^{4}-1}{0.02}=4.1216.](/sites/default/files/tex_cache/cfa7405244946e7094d8825ecb796fb5.png)
Подставляем вычисленные значения и получаем ответ:
![PV=50\,000\times\frac{16.3514}{4.1216}=198\,362.31\mbox{ руб.}](/sites/default/files/tex_cache/cf0de76c3c8bdb7e42420bc89f417c83.png)
в) В этом случае применяем формулу (7.8) при :
![PV=R\,\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{\delta}-1}=%
50\,000\,\frac{1-e^{-0.08\times 5}}{e^{0.08}-1}=197\,917.85\mbox{ руб.}](/sites/default/files/tex_cache/eb580fd8f46619eaea4bbaf5e7c259fc.png)
Пример 64. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих 5 лет ежегодно получать 300 000 руб., полностью исчерпав счет к концу этого срока. Деньги будут сниматься каждые 2 месяца равными частями. Банк начисляет на находящиеся на счету деньги проценты по ставке: а) годовой , б) годовой
, в) непрерывной годовой
.
Решение. о всех случаях требуется найти современную ценность p-срочной ренты при p=6.
а) В этом случае проценты начисляются только в конце года. Применяем формулу (7.5) при n=5, i=8%, p=6:
![PV=Ra_{n;\,i}^{(p)}=300\,000\times a_{5;\,8\%}^{(6)}.](/sites/default/files/tex_cache/e070710008f3bb8c659dc101dbff7850.png)
Вычисляем значение , подставляем его и получаем ответ:
![PV = 300\,000\times 4.1238=1\,237\,140\mbox{ руб.}](/sites/default/files/tex_cache/00d7ae741cbcf9ec8d030f7305e04b2a.png)
б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Применяем формулу (7.6) при n=5, m=4, , p=6:
![PV=\frac{R}{p}\times\frac{a_{mn;\,{j_{m}\over m}}}{s_{{m\over
p};\,{j_{m}\over m}}}=
\frac{300\,000}{6}\times\frac{a_{20;\,2\%}}{s_{{2\over 3};\,2\%}}.](/sites/default/files/tex_cache/5c5012be53853ed653590a094951ddec.png)
По формулам вычисляем:
![s_{{2\over 3};\,2\%}=0.6645,\ \ a_{20;\,2\%}=16.3514.](/sites/default/files/tex_cache/c3cc24ed6b5b7e9ac3e2d0765c0b8ffa.png)
Находим современную ценность ренты:
![PV=300\,000\times\frac{16.3514}{6\times
0.6645}=1\,230\,422.78\ \mbox{руб.}](/sites/default/files/tex_cache/76d751d18d21ddab30272e5d5fb2010b.png)
в) В этом случае проценты начисляются непрерывно. Применяем формулу (7.9) при n=5, p=6, :
![PV=\frac{R}{p}\times\frac{1-e^{-\delta n}}{e^{{\delta\over p}}-1}=
\frac{300\,000}{6}\times\frac{1-e^{-0.08\times 5}}{e^{{0.08\over
6}}-1} = 1\,228\,076.14 \mbox{ руб.}](/sites/default/files/tex_cache/cfd37acf2e67e54d4f1e04069fcd77e1.png)