Приведенная ценность финансовой ренты

7.6 Процентная ставка финансовой ренты

При финансовых вычислениях может возникнуть необходимость по известному коэффициенту наращения или по известному коэффициенту приведёния найти значение процентной ставки i при фиксированном числе членов ренты n. Опишем одну из возможных ситуаций, в которой возникает такая необходимость. Фирме требуется накопить сумму s к определённому сроку, делая через равные промежутки времени n равных вкладов, размером R каждый. Какой минимальный процент на вложенные деньги надо получать для этого в банке? В этом случае, зная значения s, R, n, можно найти значение , а затем по этому значению вычислить процентную ставку i.

Возможна другая ситуация. Вкладчик желает положить сумму s на счет в банке, чтобы после этого иметь возможность n раз снять со своего счета через равные промежутки времени сумму, равную R. Вкладчику интересно узнать, сколько процентов при этом должен платить банк на вложенные деньги. В этом случае по известным значениям s, R и n можно найти значение по формуле (7.2), а затем по этому значению вычислить ставку i.

В описанных ситуациях надо решить относительно i уравнение n-й степени при заданных значениях q, n, или :

Для решения таких уравнений типа уравнения (7.19) существуют методы нахождения приближённых значений корней с любой степенью точности. Опишем один из этих методов: метод линейной интерполяции.

Этот метод использует тот факт, что если непрерывная функция f(x) является на промежутке [] монотонной (возрастающей или убывающей) и принимает на концах этого промежутка разные знаки, то в некоторой внутренней точке этого промежутка функция f(x) равна нулю, и эта точка (корень функции) единственная на данном промежутке. Приближённое значение корня функции на этом промежутке вычисляется по следующей формуле:

Мы применим этот метод при решении следующего примера. Необходимые вычисления могут быть легко проведены с помощью финансового калькулятора или в Excel. В п. 7.7 будет рассказано, как решать подобные задачи с помощью специальных средств Excel.

Пример 68 Для возвращения долга необходимо накопить за 10 лет 2 млн руб. Ежегодно должник может вносить в банк для этой цели 150 тыс. руб. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкладывать эти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок?

Решение. По условию примера необходимо за 10 лет получить наращенную сумму S=2 млн руб. Применяя формулу из лекции 6, находим коэффициент наращения:

Следовательно, надо решить относительно i уравнение (7.19). Оно имеет вид:

Это уравнение десятой степени. Запишем это уравнение в виде

Подбором находим два значения i, при которых функция f(i) имеет разные знаки: i=5% и i=10%. Действительно, при этих значениях i мы имеем:

На промежутке [0.05; 0.10] функция f(i) меняет знак и монотонно возрастает. Находим приближённое значение i по формуле (7.20), заменив переменную x переменной i. В нашем примере имеем в качестве начальных данных:

Приближённое значение корня уравнения , согласно формуле (7.20), равно:

Вычислим значение f(0.0612):

Это значение близко к 0, поэтому приближённое значение корня уравнения i=6.12% можно принять в качестве решения поставленной задачи.

Если точность найденного значения i будет признана недостаточной, то следует вновь применить формулу (7.20) на промежутке [6.12%; 10%], так как функция на концах этого промежутка имеет разные знаки:

Повторяя эту процедуру, можно найти значение i с любой степенью точности.